Comment montrer qu’une matrice est inversible ? 11 méthodes

Comment montrer qu’une matrice est inversible ? Découvrez-le à travers 11 méthodes qui permettent de le prouver
matrice

Un des sujets les plus pertinents mais qui a plein de manières d’être abordés ! Découvrez toutes nos méthodes pour montrer qu’une matrice est inversible ! Ces règles sont valables dans le cas d’un corps. Et bien évidemment on va supposer que la matrice considérée est carrée pour que les objets (diagonale, déterminant,…)

Par le déterminant

Une matrice A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Cette méthode est sûrement la plus utilisée.

Par le rang

Une matrice A de taille n est inversible si et seulement si son rang vaut n.

Par l’endomorphisme associée

Soit A la matrice f dans une base \mathcal{B} . f est bijective si et seulement si f est inversible.

En trouvant l’inverse

Si on peut trouver une matrice carrée B telle que AB= I_n ou BA = I_n alors A est inversible.

Propriété des matrices de passage

Si A est la matrice de passage d’une base \mathcal{B}_1 à une base \mathcal{B}_2 alors A est inversible

Par les vecteurs colonnes

Une matrice est inversible si et seulement si ses colonnes forment une famille libre ou une famille ou génératrice ou une base. Il est généralement plus simple de montrer que c’est un famille libre

Par les vecteurs lignes

Une matrice est inversible si et seulement si ses lignes forment une famille libre ou une famille ou génératrice ou une base. Il est généralement plus simple de montrer que c’est un famille libre

Par les valeurs propres

Une matrice est inversible si et seulement si 0 n’est pas dans son spectre, c’est-à-dire dans l’ensemble de ses valeurs propres.

Par les matrices semblables

Si une matrice A est semblable à une matrice inversible B alors A est inversible.

Cas des matrices triangulaires ou diagonales

Si une matrice A est triangulaire ou diagonale, alors A est inversible si et seulement si les termes diagonaux sont tous non nuls

Matrices de taille 2

Prenons A une matrice de taille 2

A = \begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}

Alors A est inversible si et seulement si ad-bc\neq 0

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