Un des sujets les plus pertinents mais qui a plein de manières d’être abordés ! Découvrez toutes nos méthodes pour montrer qu’une matrice est inversible ! Ces règles sont valables dans le cas d’un corps. Et bien évidemment on va supposer que la matrice considérée est carrée pour que les objets (diagonale, déterminant,…)
Définition d’une matrice inversible
Commençons par rappeler ce qu’est une matrice inversible.
Soit A \in M_n(\mathbb{K}). Une matrice est dite inversible, s’il existe B tel que AB = BA =I_n. On appelle B l’inverse de A et on le note A^{-1}
On ne le prouvera pas ici mais il suffit de montrer l’égalité d’un seul des deux côtés, c’est-à-dire AB= I_n ou BA= I_n.
Les 11 méthodes
Par le déterminant
Une matrice A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Cette méthode est sûrement la plus utilisée.
Par le rang
Une matrice A de taille n est inversible si et seulement si son rang vaut n.
Par l’endomorphisme associé
Soit A la matrice f dans une base \mathcal{B} . f est bijective si et seulement si f est inversible.
En trouvant l’inverse
Si on peut trouver une matrice carrée B telle que AB= I_n ou BA = I_n alors A est inversible.
Propriété des matrices de passage
Si A est la matrice de passage d’une base \mathcal{B}_1 à une base \mathcal{B}_2 alors A est inversible
Par les vecteurs colonnes
Une matrice est inversible si et seulement si ses colonnes forment une famille libre ou une famille ou génératrice ou une base. Il est généralement plus simple de montrer que c’est un famille libre
Par les vecteurs lignes
Une matrice est inversible si et seulement si ses lignes forment une famille libre ou une famille ou génératrice ou une base. Il est généralement plus simple de montrer que c’est un famille libre
Par les valeurs propres
Une matrice est inversible si et seulement si 0 n’est pas dans son spectre, c’est-à-dire dans l’ensemble de ses valeurs propres.
Par les matrices semblables
Si une matrice A est semblable à une matrice inversible B alors A est inversible.
Cas des matrices triangulaires ou diagonales
Si une matrice A est triangulaire ou diagonale, alors A est inversible si et seulement si les termes diagonaux sont tous non nuls
Matrices de taille 2
Prenons A une matrice de taille 2
A = \begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}Alors A est inversible si et seulement si ad-bc \neq 0
