Dans cet article, nous allons nous intéresser aux matrices dites codiagonalisables, c’est-à-dire diagonalisables dans une même base
Enoncé du théorème
Le théorème suivant est vérifié : Soient A et B deux matrices de M_n(\mathbb{K}) diagonalisables.
A et B sont codiagonalisables si et seulement si A et B commutent
Démonstration
Sens direct
Si A et B sont codiagonalisables, il exsite P\in Gl_n(\mathbb{K}) et deux matrices diagonales D_1, D_2 telles que A = PD_1P^{-1} et B = PD_2P^{-1} . Deux matrices diagonales commutent entre elles. On a alors :
\begin{array}{ll}
AB &= (PD_1P^{-1}) (PD_2P^{-1})\\
AB &= PD_1(P^{-1}P)D_2P^{-1})\\
AB &= PD_1D_2P^{-1})\\
AB &= PD_2D_1P^{-1})\\
AB &= PD_2(P^{-1}P)D_1P^{-1})\\
AB &= (PD_2P^{-1})(PD_1P^{-1})\\
AB &= BA
\end{array}Sens retour
Soient A,B \in M_n(\mathbb{K}) deux matrices diagonalisables telles que AB=BA. Soient u,v les endomorphismes respectivement associés à A et B.
Posons \lambda_1, \ldots, \lambda_r les valeurs propres associés à u. On note E_i = \text{Ker} (u - \lambda_i id), 1 \leq i \leq r les espaces propres associés.
Soit i \in \{1, \ldots, r\} et x\in E_i. On a u \circ v(x) = v\circ u (x) = v(\lambda x) = \lambda v (x) . On en déduit que v(E_i) \subset E_i. Autrement dit, E_i est stable par v. On sait aussi que E= \displaystyle \bigoplus_{i=1}^r E_i
v restreint à E_i est donc bien définie et est un endomorphisme. Ce dernier est diagonalisable en tant que restriction d’un endomorphisme diagonalisable. On va donc le diagonaliser et prendre une base \mathcal{B_i} adaptée à cette diagonalisation.
Considérons alors \mathcal{B}= \displaystyle \cup_{i=1}^r \mathcal{B_i} . \mathcal{B} est une base de E dans laquelle les matrices de u et v sont diagonales.
Corollaire
Soient A_1, \ldots,A_r \in M_n(\mathbb{K}) r matrices diagonalisables.
A_1, \ldots,A_r sont codiagonalisables si et seulement si A_1, \ldots,A_r commutent deux à deux.
