Matrice échelonnée et algorithme d’échelonnage

Dans cet article, nous allons explorer les concepts de matrice échelonnée et de l’algorithme d’échelonnage, deux notions fondamentales en algèbre linéaire.

Prérequis

• Matrice
• Rang d’une matrice
• Pivot de Gauss

Définition de la matrice échelonnée

Une matrice est dite échelonnée si :

• Tous les zéros sont en bas de la matrice (sur les dernières lignes)
• Le premier élément non nul de chaque ligne (le pivot) est à droite du pivot de la ligne précédente.
• Si une ligne est composée uniquement de zéros, alors elle est en bas de la matrice.

Propriétés

• L’échelonnage d’une matrice ne change pas son rang.

Algorithme d’échelonnage

L’algorithme d’échelonnage est une méthode systématique pour transformer une matrice en une forme échelonnée. Il utilise le pivot de Gauss qui repose sur trois opérations élémentaires :

1. Échanger deux lignes.
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
3. Ajouter ou soustraire une ligne à une autre.

Exemples

Considérons la matrice :

\begin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \\
4 & 5 & 6 \\
3 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}

Après échelonnage, nous obtenons :

\begin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}

Cet article est une introduction aux matrices échelonnées et à l’algorithme d’échelonnage. Pour approfondir vos connaissances, vous pouvez consulter les articles suivants :

1. Changement de base sur les matrices : Cours et exercices
2. Le Pivot de Gauss : Cours et exercice corrigé
3. Opérations élémentaires sur les lignes : Fondements de l’algèbre linéaire