Dans cet article, nous allons définir la notion de matrice et voir les propriétés de base.
Définition
Soient (n,p ) \in \mathbb{N}^* . Soit A un anneau (si vous n’êtes pas familier avec cette notion, vous pouvez supposer que A= \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \R \text{ ou } \mathbb{C}.
Une matrice M de taille (n,p) est un “tableau” de taille n \times p dans lequel on a défini une valeur (qui est donc un élément de A) dans chacune de ses cases. n représente le nombre de lignes et p représente le nombre de colonnes. Chacune des cases de la matrice doit être remplie.
Par exemple,
M = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 5\\
\dfrac{25}{4} & 3 & \pi
\end{pmatrix}est une matrice de taille (2,3) (donc 2 lignes et 3 colonnes) à coefficients réels.
Notations et vocabulaire
- L’ensemble des matrices de taille (n,p) à coefficients dans A est noté M_{n,p}(A).
- Si n = p alors la matrice est dite carrée et dans ce cas, l’ensemble des matrices de taille (n,n) à coefficients dans A est noté M_n(A)
- Si n = 1, on parle de matrice ligne
- Si p = 1, on parle de matrice colonne
- L’ensemble des coefficients de la matrice M est noté M = (m_{i,j})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p}
- Le coefficient (i,j) de la matrice est donc généralement noté m_{i,j}. On note donc souvent la matrice en majuscule et ses coefficients en minuscule.
- Si une matrice est carrée, on appelle diagonale les éléments (m_{ii})_{1 \leq i \leq n}
- La matrice dont tous les coefficients sont nuls est appelé matrice nulle est notée 0_{n,p} ou 0 quand on a l’habitude de travailler avec les matrices
- Si une matrice est carrée, on appelle identité la matrice tel que \forall i \in \{1, \ldots, n \}, m_{ii} = 1 et 0 sinon. On note l’identité I_n
De plus on peut définir et noter une matrice par ses lignes L_1, L_2, \ldots, L_n :
M = \begin{pmatrix}L_1 \\ L_2 \\ \vdots \\ L_n \end{pmatrix}Ou par ses colonnes C_1, C_2, \ldots, C_n
M = \begin{pmatrix}L_1 & L_2 & \ldots & L_n \end{pmatrix}De manière générale, une matrice s’écrira sous la forme
M = \begin{pmatrix}m_{1,1} & m_{1,2} & \ldots & m_{1,p} \\
m_{2,1} & m_{2,2} & \ldots & m_{2,p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
m_{n,1} & m_{n,2} & \ldots & m_{n,p}
\end{pmatrix}Opérations sur les matrices
Multiplication par une constante
On peut multiplier une matrice par une constante. Soit \lambda un élément de A. On a :
\begin{array}{rl} \lambda M& = \lambda\begin{pmatrix}m_{1,1} & m_{1,2} & \ldots & m_{1,p} \\
m_{2,1} & m_{2,2} & \ldots & m_{2,p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
m_{n,1} & m_{n,2} & \ldots & m_{n,p}
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}\lambda m_{1,1} &\lambda m_{1,2} & \ldots &\lambda m_{1,p} \\
\lambda m_{2,1} &\lambda m_{2,2} & \ldots &\lambda m_{2,p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda m_{n,1} & \lambda m_{n,2} & \ldots &\lambda m_{n,p}
\end{pmatrix}
\end{array}Par exemple, si \lambda = 4
M = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 5\\
\dfrac{25}{4} & 3 & \pi
\end{pmatrix}Alors
4M = \begin{pmatrix}
4 & 12 & 20\\
25 & 12& 4\pi
\end{pmatrix}Somme de matrices
On peut sommer entre elles 2 matrices à condition qu’elles soient de même taille. Dans ce cas, si on note P =M+N alors p_{i,j} = m_{i,j}+n_{i,j}
Exemple : si
M = \begin{pmatrix}
3 &7\\
1 & 6\\
2 &5
\end{pmatrix}; N =\begin{pmatrix}
2 &3\\
0 & 3\\
-2 &3
\end{pmatrix}Alors, pour obtenir P, on somme les termes 2 à 2 :
P = M+N = \begin{pmatrix}
5 &10\\
1 & 9\\
0 &8
\end{pmatrix}Propriétés :
- La somme est associative : \forall M,N,P \in M_{n,p}(A), (M+N)+P = M+(N+P)
- La somme est commutative si A est commutatif : \forall M,N \in M_{n,p}(A), M+N =N+M
Produit de matrices
Sous certaines conditions, on peut multiplier 2 matrices entre elles :
De plus, on peut appliquer le binôme de Newton aux matrices :
Les types de matrices
Matrice diagonale
Soit M une matrice carrée, M est dite diagonale si et seulement si ses coefficients diagonaux sont les seuls non nuls. \forall i, j \in \{1, \ldots, n \}, i \neq j \Longrightarrow m_{i,j} =0
Matrice triangulaire
Plaçons-nous la aussi dans les matrices carrées. On distingue deux types de matrices triangulaires :
- Les matrices triangulaires inférieures
- Les matrices triangulaires supérieures
Une matrice est dite triangulaire inférieure si et seulement si tous les coefficients au-dessus de sa diagonale sont nuls.
De manière similaire, une matrice est dite triangulaire supérieure si et seulement si tous les coefficients en dessous de sa diagonale sont nuls.
Matrice symétrique
Pour aborder la notion de matrice symétrique, il est nécessaire de connaitre la notion de transposée :
Une matrice carrée est dite symétrique si et seulement si A = A^T
Matrice antisymétrique
Une matrice carrée est dite antisymétrique si et seulement si A =- A^T
En bonus : Découvrez la notion de matrice inversible
