Dans cet article, nous allons corriger plusieurs exercices assez classiques autour des intégrales.
Exercice 208
Enoncé
Corrigé
Soit \varepsilon > 0. Soit \displaystyle M = \max_{x\in[a;b]} f(x) et x_0 tel que f(x_0) = M . Alors on sait que
\exists \delta > 0, |x-x_0 | < \delta \Longrightarrow f(x) \geq M -\varepsilon
On a alors, d’une part :
\begin{array}{ll}
& f(x) \leq M \\
& f(x)^n \leq M^n \\
\Longrightarrow &\displaystyle \int_a^b f(t)^n dt \leq \int_a^b M ^n dt\\
\Longrightarrow &\displaystyle \left(\int_a^b f(t)^n dt\right)^{\frac{1}{n}} \leq \left(\int_a^b M ^n dt\right)^{\frac{1}{n}}\\
\Longrightarrow &\displaystyle \left(\int_a^b f(t)^n dt\right)^{\frac{1}{n}} \leq \left((b-a)M^n \right)^{\frac{1}{n}}\\
\Longrightarrow &\displaystyle \left(\int_a^b f(t)^n dt\right)^{\frac{1}{n}} \leq \left(b-a \right)^{\frac{1}{n}}M
\end{array}Avec
\lim_{n \to +\infty} \left(b-a \right)^{\frac{1}{n}}M = M D’autre part,
- Si |x-x_0 | \geq \delta alors f(x) \geq 0
- Si |x-x_0 | < \delta alors f(x) > M - \varepsilon
Ainsi, on a
\begin{array}{l}
& \displaystyle \int_a^b f(t)^n dt \geq \int_{\max(a,x_0-\delta)}^{\min(b,x_0+\delta)} (M-\varepsilon)^ndt\\
\Longrightarrow & \displaystyle \left(\int_a^b f(t)^n dt \right)^{\frac{1}{n}} \geq \left(\int_{\max(a,x_0-\delta)}^{\min(b,x_0+\delta)} (M-\varepsilon)^ndt\right)^{\frac{1}{n}}\\
\Longrightarrow & \displaystyle \left(\int_a^b f(t)^n dt \right)^{\frac{1}{n}} \geq (L( M-\varepsilon)^n)^{\frac{1}{n}}\\
\Longrightarrow & \displaystyle \left(\int_a^b f(t)^n dt \right)^{\frac{1}{n}} \geq L^{\frac{1}{n}}( M-\varepsilon)
\end{array}Avec \displaystyle \lim_{n \to +\infty} L^{\frac{1}{n}}( M-\varepsilon) = M-\varepsilon. Comme \varepsilon est choisi arbitrairement et ne dépend pas de n, on peut donc conclure par théorème d’encadrement :
\lim_{n \to +\infty}\left(\int_a^b f(t)^n dt \right)^{\frac{1}{n}} = M Exercice 210
Enoncé
Corrigé
On pose g = f-\dfrac{1}{b-a} \displaystyle \int_a^b f (t) dt. On a bien
\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_a^b g(t) dt &= \displaystyle \int_a^b \left(f(u)-\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f (t)dt\right) du \\
&= \displaystyle \int_a^b f(u)du-\int_{a}^b \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f (t)dtdu \\
&= \displaystyle \int_a^b f(u)du-\int_a^b f (t)dt\int_{a}^b \dfrac{1}{b-a} du \\
&= \displaystyle \int_a^b f(u)du-\int_a^b f (t)dt \\
&= 0
\end{array}Ainsi, on a
\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_a^bf(t) g(t) dt &= \displaystyle \int_a^b f(u)\left(f(u)-\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f (t)dt\right) du \\
&= \displaystyle \int_a^b f(u)^2du-\int_{a}^b \dfrac{f(u)}{b-a} \int_a^b f (t)dtdu \\
&= \displaystyle \int_a^b f(u)^2 du-\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f (t)dt\int_{a}^b f(u) du \\
&= 0
\end{array}On a donc :
\begin{array}{ll}
& \displaystyle \int_a^b f(u)^2 du=\dfrac{1}{b-a}\left(\int_a^b f (t)dt\right)^2\\
\iff &\displaystyle \left(\int_a^b f (t)dt\right)^2= (b-a) \int_a^b f(u)^2 du\\
\iff &\displaystyle \left(\int_a^b f (t)dt\right)^2= \int_a^b1^2 du \int_a^b f(u)^2 du
\end{array}Nous sommes dans le cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Et donc x \mapsto f(x) et x \mapsto 1 sont colinéaires. Conclusion : f est constante.
Exercice 374
Enoncé
Corrigé
Supposons que f s’annule p<n fois. Soit (x_1,\ldots,x_p) les points d’annulations de f. On considère le polynôme P(t) = t(t-x_1)\ldots (t-x_p) de degré inférieur ou égal à n. On peut donc écrire P(t) = \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k t^k .
D’une part, on a
\int_a^b P(t)f(t) dt = \sum_{k=1}^n a_k \int_a^b t^k f(t) dt = 0 D’autre part, comme on “compense” les zéros de f, et comme f est non nulle, alors P(t)f(t) est de signe constant.
On aboutit donc à une contradiction.
Exercice 828
Enoncé
Corrigé
Si f est de signe constant, alors on a bien \displaystyle \left| \int_a^b f(x)dx \right|=\int_a^b |f(x)|dx .
Dans l’autre sens, si
\begin{array}{ll}
& \displaystyle \left| \int_a^b f(x)dx \right|=\int_a^b |f(x)|dx\\
\Longrightarrow & \displaystyle \left( \int_a^b f(x)dx \right)^2=\left(\int_a^b |f(x)|dx\right)^2\\
\Longrightarrow & \displaystyle \left( \int_a^b f(x)dx \right)^2-\left(\int_a^b |f(x)|dx\right)^2 = 0 \\
\Longrightarrow & \displaystyle \left( \int_a^b f(x)dx -\int_a^b |f(x)|dx\right) \left( \int_a^b f(x)dx +\int_a^b |f(x)|dx\right) = 0 \\
\Longrightarrow & \displaystyle \left( \int_a^b f(x)dx -\int_a^b |f(x)|dx\right)=0 \\&\displaystyle \text{ ou } \left( \int_a^b f(x)dx +\int_a^b |f(x)|dx\right) = 0 \\
\Longrightarrow & \displaystyle \left( \int_a^b f(x)- |f(x)|dx\right)=0 \text{ ou } \left( \int_a^b f(x)+ |f(x)|dx\right) = 0
\end{array}Par exemple, si \displaystyle \left( \int_a^b f(x)- |f(x)|dx\right)=0 alors comme f(x) \leq |f(x)| on a que f(x)- |f(x)| est de signe constant. Comme l’intégrale est nulle, nécessairement f(x)- |f(x)|=0 \iff f(x) =|f(x) | \iff f(x) \geq 0 . Donc f est de signe constant. On traite le second cas de manière analogue.
On a donc fait les deux sens, ce qui termine cet exercice sur les intégrales.
