Formulaire : Les sommes usuelles

Cet article a pour but de présenter les formules des sommes usuelles, c’est à dire les sommes les plus connues. Nous allons essayer d’être le plus exhaustif pour cette fiche-mémoire.
Dans la suite, n désigne un entier.

Somme des entiers

Commençons par le cas le plus simple : la somme des entiers. Cette somme peut être indépendamment initialisée à 0 ou à 1.

\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}

Point supplémentaire : que la somme commence de 0 ou de 1, le résultat est le même

Et voici la méthode utilisée par Descartes pour la démontrer. Soit S la somme recherchée. On a d’une part :

S = 1+2+\ldots + n

D’autre part,

S = n + n-1+ \ldots +1

Si on somme terme à terme, c’est à dire qu’on ajoute ensemble les termes de nos deux égalités, on obtient :

S+S = (n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)

Et donc

2S = n(n+1) \iff S = \dfrac{n(n+1)}{2}

Bonus : Pour Ramanujan, on a

\sum_{k=0}^{+\infty} k =- \dfrac{1}{12}

Somme des carrés des entiers

Voici la valeur de la somme des carrés des entiers :

\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

On peut démontrer ce résultat par récurrence.

Somme des cubes des entiers

Voici la valeur de la somme des cubes entiers

\sum_{k=1}^n k^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2

Somme des termes d’un suite arithmétique

Pour calculer la somme des termes d’une suite arithmétique, on a la formule suivante :

\sum_{k=m}^n u_k = (n-m+1)\dfrac{u_n+u_m}{2}

La somme des entiers vue plus haut est un cas particulier

Somme des termes d’un suite géométrique

Voici la somme des termes d’une puissance, qui est aussi la somme des termes d’une suite géométrique :

• Si q = 1 :

\sum_{k=0}^n  q^k = \sum_{k=0}^n 1 = n+1

qui se généralise en :

\sum_{k=p}^n 1 = n-p+1

• Si q ≠ 1

\sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}

Formule qui se généralise en :

\sum_{k=p}^n q^k = q^p\dfrac{q^{n-p+1}-1}{q-1}=\dfrac{q^{n+1}-q^p}{q-1}

Identités remarquables

Comme on l’a vu dans le chapitre des identités remarquables, on a :

a^n-b^n =(a-b) \sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}

On peut aussi citer le binôme de Newton en tant que somme usuelle.

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