Cet article a pour but de présenter les formules des sommes usuelles, c’est à dire les sommes les plus connues. Nous allons essayer d’être le plus exhaustif pour cette fiche-mémoire.
Dans la suite, n désigne un entier.
Somme des entiers
Commençons par le cas le plus simple : la somme des entiers. Cette somme peut être indépendamment initialisée à 0 ou à 1.
\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}
Point supplémentaire : que la somme commence de 0 ou de 1, le résultat est le même
Et voici la méthode utilisée par Descartes pour la démontrer. Soit S la somme recherchée. On a d’une part :
S = 1+2+\ldots + n
D’autre part,
S = n + n-1+ \ldots +1
Si on somme terme à terme, c’est à dire qu’on ajoute ensemble les termes de nos deux égalités, on obtient :
S+S = (n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)
Et donc
2S = n(n+1) \iff S = \dfrac{n(n+1)}{2}
Bonus : Pour Ramanujan, on a
\sum_{k=0}^{+\infty} k =- \dfrac{1}{12}
Somme des carrés des entiers
Voici la valeur de la somme des carrés des entiers :
\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
On peut démontrer ce résultat par récurrence.
Somme des cubes des entiers
Voici la valeur de la somme des cubes entiers
\sum_{k=1}^n k^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2
Somme des termes d’un suite arithmétique
Pour calculer la somme des termes d’une suite arithmétique, on a la formule suivante :
\sum_{k=m}^n u_k = (n-m+1)\dfrac{u_n+u_m}{2}
La somme des entiers vue plus haut est un cas particulier
Somme des termes d’un suite géométrique
Voici la somme des termes d’une puissance, qui est aussi la somme des termes d’une suite géométrique :
- Si q = 1 :
\sum_{k=0}^n q^k = \sum_{k=0}^n 1 = n+1
qui se généralise en :
\sum_{k=p}^n 1 = n-p+1
- Si q ≠ 1
\sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}
Formule qui se généralise en :
\sum_{k=p}^n q^k = q^p\dfrac{q^{n-p+1}-1}{q-1}=\dfrac{q^{n+1}-q^p}{q-1}
Identités remarquables
Comme on l’a vu dans le chapitre des identités remarquables, on a :
a^n-b^n =(a-b) \sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}
On peut aussi citer le binôme de Newton en tant que somme usuelle.
Découvrez toutes nos fiches aide-mémoire :
- Les formules des surfaces usuelles
- Formulaire : Toutes les formules à connaitre sur les vecteurs
- Les fonctions usuelles
- Les limites usuelles
- Les différents types de suites en mathématiques
- Toutes les propriétés des sinus, cosinus et tangente hyperboliques
- Les formules des volumes usuels
- Les équivalents usuels
- Formulaire : Les sommes usuelles
- Formulaire : Toutes les primitives usuelles
Bonjour, merci pour ces rappels qui sont bien lointains pour moi, mais se trouvent être utiles pour qques calculs financiers. Pour info, il y a une coquille dans la dernière formule (section identités remarquables) : il manque un facteur (a-b) sur le membre de droite de l’égalité (sans quoi l’équation n’est pas homogène).
Bonjour,
Heureux que ça vous serve !
C’est corrigé, merci. N’hésitez pas à
– Me suggérer d’autres fautes
– Me suggérer de nouveaux contenus qui pourraient vous être utiles !
Bonne journée,
Valentin