Dans cet article, nous allons vous présenter les inégalités classiques vous pourriez croiser de bac+1 à bac+3 ! Il n’est pas exhaustif mais nous avons essayé de vous mettre les principales !
On commence par l’inégalité triangulaire :
\forall x,y \in \R ,|x+y| \leq |x|+|y|
Et aussi sa conséquence :
\forall x,y \in \R ,||x|-|y|| \leq |x-y|
Avec des fonctions usuelles
Tout d’abord, nous avons l’inégalité classique avec le logarithme :
\forall x \geq -1, \ln(1+x) \leq x
Et son parallèle avec l’exponentielle :
\forall x \in \R, e^x \geq 1+x
On a aussi une inégalité connue avec le sinus :
\forall x \in \R_+, \sin(x) \leq x
Qu’on peut écrire aussi :
\forall x \in \R, |\sin(x)|\leq |x|
Dans l’autre sens, on a :
\forall x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right], \sin(x) \geq \dfrac{2}{\pi}x Notons aussi l’inégalité de Bernoulli (mais qui marche aussi pour les r non entiers) :
\forall x \geq -1 , \forall r \geq 1, (1+x)^r \geq 1+rx
Dans l’autre sens, on a aussi avec la tangente et le sinus hyperbolique :
\forall x \in \R_+, \tan(x) \geq x, \sh(x) \geq x
Avec arctan, cela donne :
\forall x \in \R_+, \arctan x \leq x
Et avec le cosinus :
\forall x \in \R, \cos(x) \geq 1-\dfrac{x^2}{2}Et sa version hyperbolique :
\forall x \in \R, \text{ch}(x) \geq 1+\dfrac{x^2}{2}Inégalités issues de vecteurs
Inégalité de Cauchy-Schwarz
On se place dans \R^n . On a donc Cauchy-Schwarz :
\left( \sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)Qui s’écrit de manière plus générale sous la forme ( \langle .,. \rangle est un produit scalaire et ||.|| sa norme associée) :
|\langle x , y \rangle | \leq ||x||.||y||
Inégalité de Minkowski
On a aussi l’inégalité de Minkowksi :
\left(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left( \sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^n|y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}Inégalité de Holder
Et aussi l’inégalité de Holder :
\sum_{i=1}^n|x_iy_i|\leq \left( \sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^n|y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}Moyennes
On a aussi l’inégalité arithmético-géométrique :
\forall (x_1, \dots, x_n) \in (\R_+)^n, \sqrt[n]{x_1\ldots x_n} \leq \dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}Ainsi que l’inégalité harmonico-géométrique :
\forall (x_1, \dots, x_n) \in (\R_+)^n, \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+ \ldots+\frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1\ldots x_n}Pour en savoir plus sur ces moyennes :
Inégalité de réordonnement
Notons aussi l’inégalité de réordonnement, classique qui tombe régulièrement : Soient a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n et b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n. Soit \sigma \in S_n une permutation. On a :
\sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i} \leq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \sum_{i=1}^n a_ib_iInégalité de Jensen (convexité)
On a l’inégalité suivante : si f est convexe un intervalle I , si \lambda_1, \ldots,\lambda_n sont des réels positifs vérifiant \displaystyle \sum_{k=1}^n \lambda_k =1 alors :
\forall x_1, \ldots,x_n \in I, f\left(\sum_{k=1}^n x_k \lambda_k\right) \leq \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k) Inégalités avec des fonctions
Inégalité des accroissements finis
Soit f : [a,b] \to \R telle que f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f' bornée par m et M sur cette intervalle. On a alors :
\forall x \in ]a,b[,m(b-a)\leq f(b)-f(a) \leq M(b-a)
Inégalité de Taylor Lagrange
Soit f une fonction de classe \mathcal{C}^{n+1} sur un intervalle I \subset \R. Soient a,x \in I . Soit M_{n+1} un majorant de |f^{n+1}| sur [a,x]. On a alors :
\left| f(x) - \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \right|\leq \dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}M_{n+1}Autour des séries
Comparaison séries intégrales
Soit a \in \N, f: [a, +\infty[ \to \R une fonction continue par morceaux positive et décroissante. On a alors que la série \displaystyle \sum f(n) et la suite \displaystyle\left( \int_a^n f(t) dt \right) sont de même nature.
Si elles convergent :
\int_{a+1}^{+\infty} f(t) dt \leq \sum_{n=a+1}^{+\infty} f(n) \leq \int_{a}^{+\infty} f(t) dtSéries alternées
Soit (v_n) une suite positive décroissante vers 0. On considère \displaystyle S = \sum_{n =0}^{+\infty} (-1)^n v_n et on note S_n les sommes partielles. On a alors :
S_1 \leq S_3 \leq \ldots \leq S_{2n+1} \leq \ldots \leq S \leq \ldots \leq S_{2n}\leq \ldots \leq S_2 \leq S_0Autour des probabilités
On a bien sûr l’inégalité de Markov :
\forall a >0, \mathbb{P}(X \geq a ) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)}{a}Et aussi l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, si on note \sigma^2 la variance :
\forall a >0, \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq a ) \leq \dfrac{\sigma^2}{a^2}
