Dans cet article, nous allons vous présenter un ensemble de suites notoires qu’il est important de bien connaître en mathématiques.
Les suites récurrentes
Une suite récurrente est une suite dont le terme suivant dépend du terme précédent. Elle est définie par son premier terme u_{n_0} et par la relation u_{n+1} = f(u_n) si elle dépend seulement du terme précédent ou de manière plus générale par la relation u_{n+1}= f\left(u_{n_0},\ldots,u_n \right)
Voici quelques cas particuliers de suites récurrentes
Les suites arithmétiques
Elles vérifient une relation de la forme
\left\{ \begin{array}{l} u_{n_0} = a \\ \forall n \geq n_0, u_{n+1} = u_n +r \end{array} \right. Leur terme général s’écrit u_n = a+(n-n_0)r
Les suites géométriques
Elles vérifient une relation de la forme
\left\{ \begin{array}{l} u_{n_0} = a \\ \forall n \geq n_0, u_{n+1} = qu_n \end{array} \right. Leur terme général s’écrit u_n = aq^{n-n_0}
On peut aussi appeler ces suites, suites récurrentes linéaire d’ordre 1.
Les suites arithmético-géométriques
Voici la relation vérifiée par les suites arithmético-géométriques :
\left\{ \begin{array}{l} u_{n_0} = \alpha \\ \forall n \geq n_0, u_{n+1} = au_n +b \end{array} \right. - Si a =1, on se ramène à une suite arithmétique
- Si a\neq 1, le terme général s’écrit u_n = \dfrac{b}{1-a} + a^{n-n_0} \left( \alpha - \dfrac{b}{1-a} \right)
Les suites homographiques
Moins connues, elles vérifient une relation de la forme
\left\{ \begin{array}{l} u_{n_0} = \alpha \\ \forall n \geq n_0, u_{n+1} = \dfrac{au_n +b}{cu_n+d}\end{array} \right. avec ad-bc \neq 0 sinon c’est une suite constante. Pour leur résolution, je vous conseille d’aller directement voir notre article à ce sujet !
Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 vérifie une relation de la forme
\left\{ \begin{array}{l} u_{n_0} = \alpha \\ \forall n \geq n_0, u_{n+2} = au_{n+1} +bu_n \end{array} \right. Pour leur terme général, ce n’est pas si simple, je vous invite à aller voir notre article dédié à ce sujet.
On peut bien sûr définir des suites récurrentes linéaires d’ordre quelconques
Les noms de suites connus
La suite de Fibonacci
Commençons par la plus connue d’entre elles. C’est en fait une suite récurrente linéaire d’ordre 2, dont le terme suivant est la somme des deux précédents. Voici ses premiers termes : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
La suite de Conway
La suite de Conway est une suite récurrente dont le terme suivant est le terme précédent lu à voix haute : 1, 11, 21, 1211, 111221, …
La suite harmonique
C’est la somme des inverses des entiers, elle est définie par
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}Une de ses particularités est qu’elle fait apparaitre une constante \gamma définie par \gamma = \displaystyle \lim_{n \to+\infty} H_n - \ln(n)
Des suites particulières
Les suites de Cauchy
Une suite est dite de Cauchy si
\forall \eta \in \R_+^*, \exists N \in \N, \forall p,q \in \N, p,q \geq N \Rightarrow d(u_p,u_q) \leq \eta
Dans \R cette propriété est équivalente à la convergence. Un espace dans lequel être une suite de Cauchy est équivalent à être une suite convergente est dit complet.
Les suites extraites
Soit \varphi: \N \to \N est une fonction strictement croissante. Alors la suite (u_{\varphi(n)})_{n \in \N} est une suite extraite
Les suites adjacentes
Deux suites (a_n) et (b_n) sont adjacentes si
- L’une des deux est décroissante
- L’autre est croissante
- \lim_{n \to + \infty} a_n - b_n =0
Cela permet de prouver qu’elles convergent et ont même limite.
Et découvrez tous nos exercices corrigés de suites :
