Dans cet article, nous allons vous rappeler toutes les formules à connaitre autour des vecteurs. Cet article est un pense-bête sur toutes les formules à retenir. Cet article est pour les personnes étant au lycée et voulant connaitre toutes les formules utiles pour la géométrie
Les formules les plus utiles
Dans la suite, nous allons utiliser les notations :
- A (x_A;y_A;z_A) un point de l’espace
- B (x_B;y_B;z_B) un autre point de l’espace
- \overrightarrow{u}(x;y;z) un vecteur
- \overrightarrow{u'}(x';y';z') un autre vecteur
- \lambda un réel
Les résultats sont écrits en dimension 3 mais ils sont aussi valables en dimension 2.
Voici maintenant les formules utiles à connaitre :
- Le vecteur \overrightarrow{AB} se calcule grâce à la formule (x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
- On a \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}
- Soit I le milieu de AB. Il est alors facile de calculer directement ses coordonnées : \left( \dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2} ; \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)
- On peut ajouter 2 vecteurs : \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{u'} = (x+x';y+y';z+z')
- On peut aussi multiplier un vecteur par une constante : \lambda\overrightarrow{u} = (\lambda x; \lambda y; \lambda z)
- La norme du vecteur \overrightarrow{u} vaut ||\overrightarrow{u}||= \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
- De plus, on a la formule suivante qui le relie au produit scalaire \overrightarrow{u} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'} = ||\overrightarrow{u}|| . ||\overrightarrow{u'}|| . \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u'})
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'} = 0 \iff (x,y,z).(x'y',z') = 0 \iff xx'+yy'+zz' = 0
La relation de Chasles
La relation de Chasles est souvent très utile. Soient A, B et C trois points du plan ou de l’espace. On a alors :
\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}Vecteurs colinéaires et coplanaires
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}=0
Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si il existe trois réels a, b et c tels que a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w} = 0
