Comment savoir si un nombre est un multiple d’un autre ?

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Divisiblité

Le but de cet article est de donner des règles permettant d’établir facilement de savoir si un nombre est divisible par un autre nombre.

Prérequis

Les multiples de 2

Une des règles les plus simples. Il s’agit de savoir si le nombre est pair ou non. Pour ce faire, on regarde le dernier chiffre. Si celui-ci est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est un multiple de 2.

Exemples :
42 est un multiple de 2 car il se termine par 2.
5464856645498 est un multiple de 2 car il se termine par 8.
7568757757587568757 n’est pas un multiple de 2 car il se termine par 7.

Les multiples de 3

Un nombre est un multiple de 3 (est divisible par 3) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Exemples :
586465 : 5+8+6+4+6+5 = 34 qui n’est pas un multiple de 3. Donc 586465 n’est pas un multiple de 3.
426 : 4+2+6 = 12 qui est divisible par 3. Donc 426 est un multiple de 3.
24567 : 4+2+5+6+7 = 27 qui est divisible par 3. Donc 24567 est un multiple de 3.

Les multiples de 4

Deux méthodes :

  • Un nombre est un multiple de 4 si et seulement si ses 2 derniers chiffres le sont
  • Un nombre est un multiple de 4 si et seulement si 2 x a1 + a0 est un multiple de 4

Exemples :
5752576532 : Seuls les deux derniers chiffres nous intéressent : 32.
Méthode 1 : 32 est divisible par 4 donc 5752576532 est divisible par 4.
Méthode 2 : 3 x 2 + 2 = 8 qui est divisible par 4. Donc 5752576532 est divisible par 4.

2572778775 : Seuls les deux derniers chiffres nous intéressent : 75.
Méthode 1 : 75 n’est pas divisible par 4 donc 2572778775 n’est pas divisible par 4.
Méthode 2 : 7 x 2 +5 = 15 qui n’est pas divisible par 4. Donc 2572778775 n’est pas divisible par 4.

Les multiples d’une puissance de 2

Pour savoir si un nombre un multiple de 2n, la méthode est la suivante : ses n derniers chiffres doivent être divisibles par 2n

Où ak représente le k-ième chiffre en partant de la fin. Si 2n divise cette somme alors 2n divise le nombre.

Exemple 1
8 divise-t-il 757424568 ? 568 = 8 x 71. Donc 8 divise 757424568.

Exemple 2
4 est-il un multiple de 27575408 ? Comme 4 est un diviseur de 08, 4 est bien un diviseur de 27575408.

Les multiples de 5

C’est le même type de critère que pour 2. C’est assez simple : Si le nombre se termine par 0 ou 5, alors celui-ci est un multiple de 5.

Exemples :
125 est un multiple de 5 car il se termine par 5.
1587574567275363 n’est pas un multiple de 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.

Les multiples d’une puissance de 5

Pour savoir si un nombre est un multiple de 5n, la méthode est la suivante : Ses n derniers doivent être divisibles par 5n

Où ak représente le k-ième chiffre en partant de la fin. Si 5n divise cette somme alors 5n divise le nombre.

Exemple 1
25 est-il un diviseur de 65456825 ? Comme 25 divise les deux derniers chiffres, c’est à dire 25, la réponse est oui.

Exemple 2
125 est-il un diviseur de 56828525 ? On prend les 3 derniers chiffres : 525. Comme 125 x 4 = 500, 525 ne peut pas être divisible par 125. Donc 125 n’est pas un diviseur de 56828525.

Les multiples de 6

Ici c’est facile. Un nombre est un multiple de 6 si et seulement si il est un multiple de 2 et 3. Ce qui signifie qu’il doit vérifier les 2 critères suivants :

  • Il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
  • La somme de ses chiffres est divisible par 3

Exemples :
546 se termine par 6 et 5+4+6 = 15 qui est divisible par 3. Donc 546 est divisible par 6
685 ne se termine pas par un nombre pair donc n’est pas divisible par 6.
788 : 7+8+8 = 23 qui n’est pas divisible par 3. Donc 788 n’est pas divisible par 6.

Les multiples de 7

Méthode proposée par Clément Loup-Forest (il ne l’a pas inventée mais me l’a suggérée). On prend le nombre des dizaines, c’est à dire tous le chiffres des dizaines et tous les nombres avant dans l’écriture décimale. On lui ajoute – 2 * a0 où a0 est le chiffre des unités. Si le résultat est divisible par 7 alors le nombre de base était un multiple de 7. On peut réitérer ce processus autant que nécessaire pour faire diminuer le nombre.

Exemple 1
13857 est-il un multiple de 7 ?
1385 – 2×7 = 1371. Le nombre est trop grand encore, on réitère le procédé.
137 – 2×1 = 135
13 – 2×5 = 3 n’est pas divisible par 7 Donc 13857 n’est pas divisible par 7.

Exemple 2
2695 est-il un multiple de 7 ?
269 – 2×5 = 259
25 – 2×9 = 7 qui est divisible par 7. Donc 2695 est bien divisible par 7.

Variante de Chika Ofili, nigérian qui a découvert cette méthode à 12 ans. On prend le nombre des dizaines, c’est à dire tous le chiffres des dizaines et tous les nombres avant dans l’écriture décimale. On lui ajoute 5 * a0 où a0 est le chiffre des unités. Si le résultat est divisible par 7 alors le nombre de base était divisible par 7. On peut réitérer ce processus autant que nécessaire pour faire diminuer le nombre.

Exemple 1
13857 est-il un multiple de 7 ?
1385 + 5×7 = 1420. Le nombre est trop grand encore, on réitère le procédé.
142 + 5×0 = 142
14 + 5×2 = 24 n’est pas divisible par 7 Donc 13857 n’est pas divisible par 7.

Exemple 2
2695 est-il un multiple de 7 ?
269 + 5×5 = 294
29 + 5×4 = 49 qui est divisible par 7. Donc 2695 est bien divisible par 7.

Les multiples de 9

C’est la même méthode que pour la divisibilité par 3. Un nombre est un multiple de 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemples
46845 : 4+6+8+4+5 = 27. Comme 27 est un multiple de 9, 46845 est un multiple de 9.
588 : 5+8+8 = 21. 21 n’étant pas un multiple de 9, 588 n’est pas un multiple de 9.

Les multiples d’une puissance de 10

Pour vérifier qu’un nombre est un multiple de 10n, il suffit de compter le nombre de zéros à la fin. S’il a au moins n zéros, alors il est un multiple de 10n.

Exemples :
45674575757847580000 est un multiple de 1 000 et même 10 000.
57587587675567867 n’est pas un multiple de 10.

Les multiples de 11

Pour savoir si un nombre est un multiple de 11, on ajoute la suite alternée de ses chiffres, c’est à dire en changeant de signe chaque nombre. Le résultat doit être un multiple de 11.

Exemples :
123456789 : 1-2+3-4+5-6+7-8+9= 5 n’est pas un multiple de 11.
1234321 : 1-2+3-4+3-2+1 = 0. 1234321 est divisible par 11.

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