Inégalité de Markov : Cours et exercices corrigés

Voici un cours avec des exercices corrigés sur l’inégalité de Markov
Dés probabilités

Cet article a pour but de présenter l’inégalité de Markov, une inégalité bien connue en probabilités. 

Cours 

Soit un espace probabilisé (Ω, A, P). Soit X une variable aléatoire sur cet espace probabilisé. X est presque sûrement positive ou nulle dont l’espérance existe. On a alors l’inégalité suivante, dite inégalité de Markov : 

\forall t > 0, \mathbb{P}(X \geq t ) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)}{t}

Généralisation

Soit r ≥ 0. On peut généraliser cette inégalité, sans supposer que X est presque-sûrement positive ou nulle. On suppose aussi que l’espérance de  |X|r est finie. Elle devient alors : 

\forall t > 0, \mathbb{P}(|X| \geq t ) \leq \dfrac{\mathbb{E}(|X|^r)}{t^r}

Et pour aller encore plus loin, soit ϕ une fonction croissante positive ou nulle sur un intervalle I. Soit Y une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) telle que 

\mathbb{P}(Y \in I) = 1

On a alors 

\forall b \in I | \varphi(b) > 0, \mathbb{P} (Y \geq b) \leq \dfrac{\mathbb{E}(\varphi(Y))}{\varphi(b)}

Exemple d’application 

Les revenus étant une variable positive, la part de la population percevant un salaire supérieur à 10 fois le salaire moyen est au maximum de 10 %.

Démonstration de l’inégalité de Markov 

Cas d’une variable aléatoire finie ou discrète 

On a 

\mathbb{E}(X) = \sum_{x_i \in I} x_i\mathbb{P}(X=x_i) 

Où I est un ensemble fini ou infini dénombrable. On fait alors le découpage suivant : 

\mathbb{E}(X) = \sum_{x_i < \alpha} x_i\mathbb{P}(X=x_i) + \sum_{x_i \geq \alpha} x_i\mathbb{P}(X=x_i) 

On a alors : 

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X)&\geq  0 + \displaystyle\sum_{x_i \geq \alpha} \alpha\mathbb{P}(X=x_i) \\
& \geq \alpha \displaystyle\sum_{x_i \geq \alpha}\mathbb{P}(X=x_i)\\
& \geq \alpha \mathbb{P}(X \geq \alpha)
\end{array}

D’où

 \mathbb{P}(X \geq \alpha) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)}{\alpha}

Cas d’une variable continue à densité

On a

\mathbb{E}(X) = \int_0^{+\infty} t f(t) dt

On découpe en 2 comme précédemment : 

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X) &=\displaystyle \int_0^{\alpha} t f(t) dt+\int_{\alpha}^{+\infty} t f(t) dt\\
& \geq  \displaystyle\int_0^{\alpha} 0f(t) dt+\int_{\alpha}^{+\infty} \alpha f(t) dt\\
& \geq \alpha  \displaystyle \int_{\alpha}^{+\infty}  f(t) dt\\
& = \alpha \mathbb{P}(X \geq \alpha)
\end{array}

Exercices corrigés 

Exercice 1

Enoncé

Le nombre de pièces sortant d’une usine en une journée est une variable aléatoire d’espérance 100. On veut estimer la probabilité que la production de demain dépasse 200 pièces.

Quelle estimation obtient-on sur cette probabilité ?

Corrigé

Soit X la production de demain. On utilise l’inégalité de Markov : 

\mathbb{P}(X \geq 200) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X) }{200} = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2}

Exercice 2

Enoncé 

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a;b]. Montrer que pour tout c élément de [a;b],

\dfrac{\mathbb{E}(X) - b}{c-b}\leq \mathbb{P}(X \geq c) \leq  \dfrac{\mathbb{E}(X) - a}{b-a}

Corrigé

Les deux inégalités suivantes sont équivalentes : 

X \geq c \iff X -a \geq c -a

On a alors 

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X \geq c) & = \mathbb{P}(X-a \geq c-a) \\
& \leq \dfrac{\mathbb{E}(X-a)}{c-a}\\
& \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)-a}{c-a}\\
\end{array}

Ce qui démontre l’inégalité de droite. Maintenant, on a

X < c \iff b-X > b-c 

Et donc, en prenant l’évènement contraire : 

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X < c) &= 1 - \mathbb{P}(X \geq  c)\\
&= 1 - \mathbb{P}(b-X \geq b- c)\\
&\geq 1 - \dfrac{\mathbb{E}(b-X)}{b-c}\\
&= 1 - \dfrac{b-\mathbb{E}(X)}{b-c}\\
&=  \dfrac{b-c-(b-\mathbb{E}(X))}{b-c}\\
&=  \dfrac{\mathbb{E}(X)-c}{b-c}\\
\end{array}

Ce qui est l’inégalité de gauche recherchée. 

Exercice 3

Enoncé

Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. Montrer que pour tout réel a

\mathbb{P}(X \geq a) \leq \mathbb{E}(e^{X-a})

Corrigé

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a 

\{ X \geq a \} = \{e^X \geq e^a \}

On a donc : 

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X \geq a ) &= \mathbb{P}(e^X \geq e^a ) \\
&\leq \dfrac{\mathbb{E}(e^X)}{e^a}\\
&= \mathbb{E}(e^X)e^{-a}\\
&= \mathbb{E}(e^Xe^{-a})\\
&= \mathbb{E}(e^{X-a})
\end{array}

Ce qui est bien le résultat recherché.

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