Cet article a pour but de présenter l’inégalité de Markov, une inégalité bien connue en probabilités.
Cours
Soit un espace probabilisé (Ω, A, P). Soit X une variable aléatoire sur cet espace probabilisé. X est presque sûrement positive ou nulle dont l’espérance existe. On a alors l’inégalité suivante, dite inégalité de Markov :
\forall t > 0, \mathbb{P}(X \geq t ) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)}{t}
Généralisation
Soit r ≥ 0. On peut généraliser cette inégalité, sans supposer que X est presque-sûrement positive ou nulle. On suppose aussi que l’espérance de |X|r est finie. Elle devient alors :
\forall t > 0, \mathbb{P}(|X| \geq t ) \leq \dfrac{\mathbb{E}(|X|^r)}{t^r}
Et pour aller encore plus loin, soit ϕ une fonction croissante positive ou nulle sur un intervalle I. Soit Y une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) telle que
\mathbb{P}(Y \in I) = 1
On a alors
\forall b \in I | \varphi(b) > 0, \mathbb{P} (Y \geq b) \leq \dfrac{\mathbb{E}(\varphi(Y))}{\varphi(b)}
Exemple d’application
Les revenus étant une variable positive, la part de la population percevant un salaire supérieur à 10 fois le salaire moyen est au maximum de 10 %.
Démonstration de l’inégalité de Markov
Cas d’une variable aléatoire finie ou discrète
On a
\mathbb{E}(X) = \sum_{x_i \in I} x_i\mathbb{P}(X=x_i)
Où I est un ensemble fini ou infini dénombrable. On fait alors le découpage suivant :
\mathbb{E}(X) = \sum_{x_i < \alpha} x_i\mathbb{P}(X=x_i) + \sum_{x_i \geq \alpha} x_i\mathbb{P}(X=x_i) On a alors :
\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X)&\geq 0 + \displaystyle\sum_{x_i \geq \alpha} \alpha\mathbb{P}(X=x_i) \\
& \geq \alpha \displaystyle\sum_{x_i \geq \alpha}\mathbb{P}(X=x_i)\\
& \geq \alpha \mathbb{P}(X \geq \alpha)
\end{array}D’où
\mathbb{P}(X \geq \alpha) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)}{\alpha}
Cas d’une variable continue à densité
On a
\mathbb{E}(X) = \int_0^{+\infty} t f(t) dtOn découpe en 2 comme précédemment :
\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X) &=\displaystyle \int_0^{\alpha} t f(t) dt+\int_{\alpha}^{+\infty} t f(t) dt\\
& \geq \displaystyle\int_0^{\alpha} 0f(t) dt+\int_{\alpha}^{+\infty} \alpha f(t) dt\\
& \geq \alpha \displaystyle \int_{\alpha}^{+\infty} f(t) dt\\
& = \alpha \mathbb{P}(X \geq \alpha)
\end{array}Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé
Le nombre de pièces sortant d’une usine en une journée est une variable aléatoire d’espérance 100. On veut estimer la probabilité que la production de demain dépasse 200 pièces.
Quelle estimation obtient-on sur cette probabilité ?
Corrigé
Soit X la production de demain. On utilise l’inégalité de Markov :
\mathbb{P}(X \geq 200) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X) }{200} = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2}Exercice 2
Enoncé
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a;b]. Montrer que pour tout c élément de [a;b],
\dfrac{\mathbb{E}(X) - b}{c-b}\leq \mathbb{P}(X \geq c) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X) - a}{b-a}Corrigé
Les deux inégalités suivantes sont équivalentes :
X \geq c \iff X -a \geq c -a
On a alors
\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X \geq c) & = \mathbb{P}(X-a \geq c-a) \\
& \leq \dfrac{\mathbb{E}(X-a)}{c-a}\\
& \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)-a}{c-a}\\
\end{array}Ce qui démontre l’inégalité de droite. Maintenant, on a
X < c \iff b-X > b-c
Et donc, en prenant l’évènement contraire :
\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X < c) &= 1 - \mathbb{P}(X \geq c)\\
&= 1 - \mathbb{P}(b-X \geq b- c)\\
&\geq 1 - \dfrac{\mathbb{E}(b-X)}{b-c}\\
&= 1 - \dfrac{b-\mathbb{E}(X)}{b-c}\\
&= \dfrac{b-c-(b-\mathbb{E}(X))}{b-c}\\
&= \dfrac{\mathbb{E}(X)-c}{b-c}\\
\end{array}Ce qui est l’inégalité de gauche recherchée.
Exercice 3
Enoncé
Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. Montrer que pour tout réel a
\mathbb{P}(X \geq a) \leq \mathbb{E}(e^{X-a})
Corrigé
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a
\{ X \geq a \} = \{e^X \geq e^a \}On a donc :
\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X \geq a ) &= \mathbb{P}(e^X \geq e^a ) \\
&\leq \dfrac{\mathbb{E}(e^X)}{e^a}\\
&= \mathbb{E}(e^X)e^{-a}\\
&= \mathbb{E}(e^Xe^{-a})\\
&= \mathbb{E}(e^{X-a})
\end{array}Ce qui est bien le résultat recherché.
