Loi uniforme discrète : Cours et exercices corrigés

La loi uniforme est une des lois de probabilités parmi les plus simples. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Définition

Soit N un entier. La loi uniforme discrète est une loi de probabilité définie sur un univers \Omega = \{x_1, \ldots, x_N\}

On a alors

\forall i \in \{1, \ldots ,N\}, \mathbb{P}(X=x_i) =\dfrac{1}{N}

Elle est notée \mathcal{U}(\{x_1,\ldots,x_N\})

Un cas particulier de la loi uniforme est quand elle est définie entre a et b deux entiers avec a < b. Dans ce cas, en posant N = b-a+1, on a :

\forall i \in \{a, \ldots ,b\}, \mathbb{P}(X=i) =\dfrac{1}{N}

Propriétés

Espérance de la loi uniforme discrète

L’espérance de la loi uniforme discrète est la suivante :

\mathbb{E}(X) = \dfrac{x_1 + \ldots+x_N}{N}

Dans le cas particulier où elle est définie sur \{a,\ldots,b\}, elle vaut :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X) &= \displaystyle \sum_{k=a}^b k \mathbb{P}(X=k)\\
&= \displaystyle \sum_{k=a}^b \dfrac{k}{N}\\
&= \displaystyle \dfrac{1}{N} \sum_{k=a}^b k \\
&= \displaystyle \dfrac{1}{N}\dfrac{N(a+b)}{2}\\
&= \dfrac{(a+b)}{2}\\
\end{array}

Ce qui est une forme bien plus simple. Pour faire le calcul, on a utilisé la somme des termes d’une suite arithmétique.

Variance de la loi uniforme discrète

Là aussi, pas de formule particulière dans le cas général. On peut l’écrire :

\mathbb{V}(X) = \dfrac{x_1^2+\ldots +x_N^2}{N}-\mathbb{E}(X)^2

Dans le cas particulier où elle est définie sur \{a,\ldots,b\}, elle vaut \dfrac{n^2-1}{12} . Regardons plutôt la variance de Y = X - a + 1, qui est égale à celle de X et suit une loi uniforme sur \{1,\ldots,N\}. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(Y^2) &= \displaystyle\sum_{k=1}^N k^2 \mathbb{P}(Y=k)\\
&=  \displaystyle\sum_{k=1}^N \dfrac{k^2}{N}\\
&=  \displaystyle\dfrac{1}{N}\sum_{k=1}^N k^2\\
&=  \displaystyle\dfrac{1}{N}\dfrac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
&=  \displaystyle\dfrac{(N+1)(2N+1)}{6}\\
\end{array}

Si vous avez un doute sur la somme, allez voir notre cours sur les sommes usuelles.
De plus, on a \mathbb{E}(X) = \dfrac{N-1}{2} donc

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(Y) & = \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2\\
& =\dfrac{(N+1)(2N+1)}{6} - \left(\dfrac{N-1}{2}\right)^2\\
&= \dfrac{2N^2+3N+1}{6} - \dfrac{N^2-2N+1}{4}\\
&= \dfrac{4N^2+6N+2}{12} - \dfrac{3N^2-6N+3}{12}\\
&= \dfrac{N^2-1}{12}\\
\end{array}

Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !

Exemple de loi uniforme

• Si on prend un dé à 6 faces équilibrées, alors le score obtenu en lançant le dé suit une loi uniforme sur \{1,\ldots,6\}
• On dispose d’une urne dans laquelle sont disposées n boules numérotées de 1 à n. On tire une boule au hasard et on note le résultat obtenu. Ce résultat suit une loi uniforme sur \{1,\ldots,100\}

Comment savoir si une loi de probabilité est uniforme discrète ?

Il faut procéder de cette manière là

• On calcule N l’ensemble des éventualités. Par exemple, pour un dé, on a 6 éventualités : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
• On calcule la probabilité de chacune des éventualités. Celle-ci doit être égale à \frac{1}{N}

Exercices corrigés de loi uniforme discrète

Exercice 1

Enoncé :

Une boite contient 10 jetons portant le numéro 1, 10 jetons portant le numéro 2 et 10 jetons portant le numéro 3. On tire au hasard un jeton dans la boite et on note X le numéro du jeton tiré.
X suit-il une loi uniforme discrète ?

Corrigé :
On a 3 éventualités qui sont 1, 2 et 3. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X=1) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\\
\mathbb{P}(X=2) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\\
\mathbb{P}(X=3) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\\
\end{array}

Donc toutes les probabilités sont égales à \dfrac{1}{3}. On a donc bien une loi de probabilité uniforme discrète.

Exercice 2

Enoncé :

Une variable aléatoire X admet la loi de probabilité suivant dont il manque deux cases :

X peut-elle suivre une loi de probabilité uniforme ?

Corrigé :
La réponse est simple : comme l’univers est de cardinal 4, on doit nécessairement avoir \mathbb{P}(x_i) = \dfrac{1}{4} . Or, ce n’est pas le cas pour 1 et 2. Donc la loi de probabilité ne peut pas être complétée pour être uniforme.

Exercice 3

Enoncé :

On lance un dé à 6 faces équilibré. On note X le score obtenu en lançant une fois le dé. Calculer :

1. L’espérance et la variance de X
2. La probabilité d’obtenir un nombre pair
3. La probabilité d’obtenir 5 ou 6

Corrigé :

Question 1 : On sait que

\mathbb{E}(X) = \dfrac{6+1}{2} = \dfrac{7}{2}

Pour la variance, la formule est

\mathbb{V}(X) = \dfrac{6^2-1}{12} = \dfrac{35}{12}

Question 2 : Le calcul est assez simple

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X=2k)&= \mathbb{P}(X \in \{2,4,6\})\\
&= \mathbb{P}(X=2)+ \mathbb{P}(X=4)+ \mathbb{P}(X=6)\\
&=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\\
&= \dfrac{1}{2}
\end{array}

Question 3 : Le raisonnement est similaire :

\begin{array}{ll}
 \mathbb{P}(X \in \{5,6\}) &= \mathbb{P}(X=5)+  \mathbb{P}(X=6)\\
&=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\\
&= \dfrac{1}{3}
\end{array}

Enoncés d’exercices de loi uniforme discrète

Exercice 1

On lance deux dés à 6 faces et on note X la variable aléatoire égale au plus grand des nombres obtenus.
La variable aléatoire X suit-elle une loi uniforme discrète ?

Exercice 2

Soit a \in \N . Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \{0, \ldots, a\}[\katex]. On sait que [katex] \mathbb{E}(X) = 8.

Déterminer a

Exercice 3

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme discrète sur \{1,\ldots ,n\}

1. Déterminer \mathbb{P}(X=Y)
2. Déterminer \mathbb{P}(X\geq Y)
3. Déterminer la loi de X+Y

Exercice 4

Nous vous conseillons de faire l'exercice sur le paradoxe des anniversaires !