La loi uniforme est une des lois de probabilités parmi les plus simples. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !
Définition
Soit N un entier. La loi uniforme discrète est une loi de probabilité définie sur un univers \Omega = \{x_1, \ldots, x_N\}
On a alors
\forall i \in \{1, \ldots ,N\}, \mathbb{P}(X=x_i) =\dfrac{1}{N}
Elle est notée \mathcal{U}(\{x_1,\ldots,x_N\})
Un cas particulier de la loi uniforme est quand elle est définie entre a et b deux entiers avec a < b. Dans ce cas, en posant N = b-a+1, on a :
\forall i \in \{a, \ldots ,b\}, \mathbb{P}(X=i) =\dfrac{1}{N}
Propriétés
Espérance de la loi uniforme discrète
L’espérance de la loi uniforme discrète est la suivante :
\mathbb{E}(X) = \dfrac{x_1 + \ldots+x_N}{N}
Dans le cas particulier où elle est définie sur \{a,\ldots,b\}, elle vaut :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(X) &= \displaystyle \sum_{k=a}^b k \mathbb{P}(X=k)\\ &= \displaystyle \sum_{k=a}^b \dfrac{k}{N}\\ &= \displaystyle \dfrac{1}{N} \sum_{k=a}^b k \\ &= \displaystyle \dfrac{1}{N}\dfrac{N(a+b)}{2}\\ &= \dfrac{(a+b)}{2}\\ \end{array}
Ce qui est une forme bien plus simple. Pour faire le calcul, on a utilisé la somme des termes d’une suite arithmétique.
Variance de la loi uniforme discrète
Là aussi, pas de formule particulière dans le cas général. On peut l’écrire :
\mathbb{V}(X) = \dfrac{x_1^2+\ldots +x_N^2}{N}-\mathbb{E}(X)^2
Dans le cas particulier où elle est définie sur \{a,\ldots,b\}, elle vaut \dfrac{n^2-1}{12} . Regardons plutôt la variance de Y = X - a + 1, qui est égale à celle de X et suit une loi uniforme sur \{1,\ldots,N\}. On a :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(Y^2) &= \displaystyle\sum_{k=1}^N k^2 \mathbb{P}(Y=k)\\ &= \displaystyle\sum_{k=1}^N \dfrac{k^2}{N}\\ &= \displaystyle\dfrac{1}{N}\sum_{k=1}^N k^2\\ &= \displaystyle\dfrac{1}{N}\dfrac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\ &= \displaystyle\dfrac{(N+1)(2N+1)}{6}\\ \end{array}
Si vous avez un doute sur la somme, allez voir notre cours sur les sommes usuelles.
De plus, on a \mathbb{E}(X) = \dfrac{N-1}{2} donc
\begin{array}{ll} \mathbb{V}(Y) & = \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2\\ & =\dfrac{(N+1)(2N+1)}{6} - \left(\dfrac{N-1}{2}\right)^2\\ &= \dfrac{2N^2+3N+1}{6} - \dfrac{N^2-2N+1}{4}\\ &= \dfrac{4N^2+6N+2}{12} - \dfrac{3N^2-6N+3}{12}\\ &= \dfrac{N^2-1}{12}\\ \end{array}
Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !
Exemple de loi uniforme
- Si on prend un dé à 6 faces équilibrées, alors le score obtenu en lançant le dé suit une loi uniforme sur \{1,\ldots,6\}
- On dispose d’une urne dans laquelle sont disposées n boules numérotées de 1 à n. On tire une boule au hasard et on note le résultat obtenu. Ce résultat suit une loi uniforme sur \{1,\ldots,100\}
Comment savoir si une loi de probabilité est uniforme discrète ?
Il faut procéder de cette manière là
- On calcule N l’ensemble des éventualités. Par exemple, pour un dé, on a 6 éventualités : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
- On calcule la probabilité de chacune des éventualités. Celle-ci doit être égale à \frac{1}{N}
Exercices corrigés de loi uniforme discrète
Exercice 1
Enoncé :
Une boite contient 10 jetons portant le numéro 1, 10 jetons portant le numéro 2 et 10 jetons portant le numéro 3. On tire au hasard un jeton dans la boite et on note X le numéro du jeton tiré.
X suit-il une loi uniforme discrète ?
Corrigé :
On a 3 éventualités qui sont 1, 2 et 3. On a :
\begin{array}{ll} \mathbb{P}(X=1) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\\ \mathbb{P}(X=2) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\\ \mathbb{P}(X=3) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\\ \end{array}
Donc toutes les probabilités sont égales à \dfrac{1}{3}. On a donc bien une loi de probabilité uniforme discrète.
Exercice 2
Enoncé :
Une variable aléatoire X admet la loi de probabilité suivant dont il manque deux cases :
xi | 1 | 2 | 3 | 4 |
P(xi) | 0,2 | 0,2 |
X peut-elle suivre une loi de probabilité uniforme ?
Corrigé :
La réponse est simple : comme l’univers est de cardinal 4, on doit nécessairement avoir \mathbb{P}(x_i) = \dfrac{1}{4} . Or, ce n’est pas le cas pour 1 et 2. Donc la loi de probabilité ne peut pas être complétée pour être uniforme.
Exercice 3
Enoncé :
On lance un dé à 6 faces équilibré. On note X le score obtenu en lançant une fois le dé. Calculer :
- L’espérance et la variance de X
- La probabilité d’obtenir un nombre pair
- La probabilité d’obtenir 5 ou 6
Corrigé :
Question 1 : On sait que
\mathbb{E}(X) = \dfrac{6+1}{2} = \dfrac{7}{2}
Pour la variance, la formule est
\mathbb{V}(X) = \dfrac{6^2-1}{12} = \dfrac{35}{12}
Question 2 : Le calcul est assez simple
\begin{array}{ll} \mathbb{P}(X=2k)&= \mathbb{P}(X \in \{2,4,6\})\\ &= \mathbb{P}(X=2)+ \mathbb{P}(X=4)+ \mathbb{P}(X=6)\\ &=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\\ &= \dfrac{1}{2} \end{array}
Question 3 : Le raisonnement est similaire :
\begin{array}{ll} \mathbb{P}(X \in \{5,6\}) &= \mathbb{P}(X=5)+ \mathbb{P}(X=6)\\ &=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\\ &= \dfrac{1}{3} \end{array}
Enoncés d’exercices de loi uniforme discrète
Exercice 1
On lance deux dés à 6 faces et on note X la variable aléatoire égale au plus grand des nombres obtenus.
La variable aléatoire X suit-elle une loi uniforme discrète ?
Exercice 2
Soit a \in \N . Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \{0, \ldots, a\}[\katex]. On sait que [katex] \mathbb{E}(X) = 8.
Déterminer a
Exercice 3
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme discrète sur \{1,\ldots ,n\}
- Déterminer \mathbb{P}(X=Y)
- Déterminer \mathbb{P}(X\geq Y)
- Déterminer la loi de X+Y
Exercice 4
Nous vous conseillons de faire l'exercice sur le paradoxe des anniversaires !