Toutes les propriétés des sinus, cosinus et tangente hyperboliques

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sinus hyperbolique

Cet article a pour but de regrouper la plupart des formules sur les sinus hyperboliques, les cosinus hyperboliques et les tangentes hyperboliques. Un article à mettre dans vos favoris et à consulter chaque fois que vous en avez besoin !
Il fait évidemment le lien avec le cours sur les sinus et le cosinus.

Formules de base

\forall \alpha \in \mathbb{R} \\
\begin{array}{|c|}
\hline \\
\text{ch}(\alpha)+\text{sh}(\alpha)=e^{\alpha} \\  \\
\hline\\
\text{ch}(\alpha)-\text{sh}(\alpha)=e^{-\alpha} \\  \\
\hline\\
\text{ch}^2(\alpha)-\text{sh}^2(\alpha)=1   \\ \\
\hline
\end{array}

Formules d’addition

Voici toutes les formules dites d’addition du sinus et du cosinus :

\begin{array}{rcl}
\text{ch}(a+b)&  = &\text{ch}(a)\text{ch}(b)+\text{sh}(a)\text{sh}(b)\\
\text{ch}(a-b)&  = &\text{ch}(a)\text{ch}(b)-\text{sh}(a)\text{sh}(b)\\
\text{sh}(a+b)&  = &\text{sh}(a)\text{ch}(b)+\text{ch}(a)\text{sh}(b)\\
\text{sh}(a-b)&  = &\text{sh}(a)\text{ch}(b)-\text{ch}(a)\text{sh}(b)\\
\text{th}(a+b)&  = &\dfrac{\text{th}(a)+\text{th}(b)}{1+\text{th}(a)\text{th}(b)}\\
\text{th}(a-b)&  = &\dfrac{\text{th}(a)-\text{th}(b)}{1-\text{th}(a)\text{th}(b)}
\end{array}

On en déduit, en prenant a = b, les formules de duplication :

\begin{array}{rcl}
\text{ch}(2a)& = & 1 + 2 \text{sh}^2(a)\\
\text{ch}(2a)& = &  \text{ch}^2(a)+\text{sh}^2(a)\\
\text{ch}(2a)& = & 2 \text{ch}^2(a)-1\\
\text{sh}(2a)& = &2\text{ch} (a)\text{sh}(a)\\
\text{th}(2a)& = & \dfrac{2\text{th}(a)}{1+\text{th}^2(a)}\\
\end{array}

En renversant les lignes 1 et 3, on obtient les formules dites de linéarisation :

\begin{array}{rcr}
\text{ch}^2(a) = \dfrac{\text{ch}(2a)+1}{2}\\
\text{sh}^2(a) = \dfrac{\text{ch}(2a)-1}{2}
\end{array}

Formules produit-somme

Voici la liste des formules transformant les produits de cosinus et de sinus en somme

\begin{array}{rcr}
\text{ch}(a)\text{ch}(b) & = & \dfrac{\text{ch}(a+b)+\text{ch}(a-b)}{2}\\
\text{sh}(a)\text{sh}(b) & = & \dfrac{\text{ch}(a+b)-\text{ch}(a-b)}{2}\\
\text{ch}(a)\text{sh}(b) & = & \dfrac{\text{sh}(a+b)-\text{sh}(a-b)}{2}\\
\text{sh}(a)\text{ch}(b) & = & \dfrac{\text{sh}(a+b)+\text{sh}(a-b)}{2}
\end{array}

La quatrième formule est la même que la troisième en inversant a et b.

Formules somme-produit

Voici la liste des formules transformant les sommes de cosinus et de sinus en produits

\begin{array}{r c r}
\text{ch}(a)+\text{ch}(b) & = & 2 \text{ch}\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \text{ch}\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\
\text{ch}(a)-\text{ch}(b) & = & 2 \text{sh}\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \text{sh}\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\
\text{sh}(a)+\text{sh}(b) & = & 2 \text{sh}\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \text{ch}\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\
\text{sh}(a)-\text{sh}(b) & = & 2 \text{ch}\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \text{sh}\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\
\end{array}

Développements limités des fonctions hyperboliques

Allez voir notre article sur les développements limités usuels

Développements en série entières des fonctions hyperboliques

Allez voir notre article sur les développements en série entière usuels

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