Définition

Une suite arithmétique est définie par 2 éléments, son premier terme u₀ et sa raison r. Elle vérifie la relation suivante :

u_{n+1} = u_n + r

Propriétés

Ecriture générale

On peut écrire une suite arithmétique en fonction son premier terme et de n :

u_{n} = u_0 + nr

Ou de manière plus générale, en fonction d’un terme quelconque :

\forall n,p \in\N, u_n = u_p + (n-p)r

Ce critère est par ailleurs suffisant pour qualifier une suite arithmétique. Si on trouve une suite sous l’une des 2 formes au-dessus, alors on a bien affaire à une suite arithmétique.

A noter : La suite (u_n+1-u_n) est une suite constante égale à la raison r.

Additivité et multiplicativité

La somme de suites arithmétiques est une suite arithmétique.
En effet, deux suites arithmétique u et v sont définies par

\begin{array}{l}u_0\ =\ a\ et\ raison\ =\ r_1\\
v_{0\ }=\ b\ et\ raison\ =\ r_2\end{array}

Alors montrons que la somme est bien une suite arithmétique :

\begin{array}{l}u_n\ =\ a\ +\ nr_1\\
v_n\ =\ b\ +\ nr_2\\
Alors,\\
u_n\ +\ v_n\ =\ a\ +\ b\ +\ n\left(r_1+r_2\right)\end{array}

Ce qui signifie que u + v est une suite de premier terme a + b et de raison r₁ + r₂.

Une suite arithmétique multipliée par une constante c reste une suite arithmétique.
Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme a et de raison r. Soit c une constante.
La suite s’écrit en fonction de n comme :

u_n = a + nr

Si on multiplie tout par c,

cu_n = ca + cnr = ca + ncr

La suite (cu_n) est donc arithmétique de premier terme ca et de raison cr

Attention : Le produit de 2 suites arithmétiques n’est pas une suite arithmétique.
Soit (u_n) la suite définie par u_n = 2n + 1, (u_n) est bien une suite arithmétique.
Soit (v_n) la suite définie par u_n = 4n + 3, (v_n) est bien une suite arithmétique.
On appelle (w_n) la suite issue du produit entre (u_n) et (v_n).
On a les résultats suivants :

\begin{array}{l}
w_0=u_0v_0 = 2 \times 4 = 8 \\
w_1= u_1v_1 = 3 \times 7 = 21\\
w_2=u_2v_2 = 4 \times 9 = 36
\end{array}

Calculons alors la différence entre les termes successifs :

\begin{array}{l}
w_1-w_0=21-8 = 12\\
w_2-w_1 = 36-21 = 15
\end{array}

Donc la suite (w_n+1-w_n) n’est pas une suite égale à la raison. Donc cela ne peut pas être une suite arithmétique.

Somme des termes d’une suite arithmétique

Voici les formules permettant de calculer la somme des termes d’une suite arithmétique

\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+  \ldots+u_n = (n+1)(u_0+u_n)

Et voici une formule plus générale :

\forall n,p \in \N, p\leq n, \sum_{k=p}^n u_k=u_p+u_1+  \ldots+u_n = (n-p+1)(u_p+u_n)

En fait cette formule se résume en nombre de termes x (plus petit terme + plus grand terme)
n – p + 1 est bien le nombre de termes. De 2 à 10 il y a bien 10 – 2 + 1 = 9 termes. Si on détaille, les 9 termes sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Exemple

Soit la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 3.
Cette suite peut donc s’écrire u_n = 2n + 3.
La somme de ses termes de 0 à n vaut
(n+1)x(u₀+u_n) = (n+1)(3+2n+3)= (n+1)(2n+6)=2(n+1)(n+3)

Exercices

Exercice 1
1. Soit u₀ = 4 et r = 3. Déterminer u₂₁
2. Soit u₂ = 2 et r = 2. Déterminer u₃₇
3. Soit u₉ = 8 et r = -3. Déterminer u₃
4. Soit u₁₀₀ = 900 et r = 7. Déterminer u₀

Exercice 2
Soit la suite (u_n) définie par u_n = 5 – 2n
1. Calculer les 4 premiers termes
2. Démontrer que (u_n) est une suite arithmétique. Donner sa raison
3. Quelle est la valeur du 77-ème terme ?
4. Calculer la somme des 77 premiers termes.

Exercice 3
Démontrer qu’une suite vérifiant la relation 2u_n = u_n-1 + u_n+1 est une suite arithmétique.

Exercice 4
Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 1 et et pour tout n entier :

u_{n+1} = \sqrt{4+u_n^2}

On pose aussi v_n définie par v_n = u_n².
1. Montrer que (v_n) est une suite arithmétique
2. Exprimer v_n en fonction de n.
3. En déduire une expression de u_n en fonction de n

Exercice 5
Calculer la somme des entiers naturels entre 100 et 1000.

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