Définition
Une suite arithmétique est définie par 2 éléments, son premier terme u0 et sa raison r. Elle vérifie la relation suivante :
u_{n+1} = u_n + r
Propriétés
Écriture générale
On peut écrire une suite arithmétique en fonction son premier terme et de n u_n = u_0 + nr
Ou de manière plus générale, en fonction d’un terme quelconque : \forall n,p \in\N, u_n = u_p + (n-p)r
Ce critère est par ailleurs suffisant pour qualifier une suite arithmétique. Si on trouve une suite sous l’une des 2 formes au-dessus, alors on a bien affaire à une suite arithmétique.
A noter : La suite (un+1-un) est une suite constante égale à la raison r.
Additivité et multiplicativité
La somme de suites arithmétiques est une suite arithmétique.
En effet, deux suites arithmétiques u et v sont définies par
\begin{array}{l}u_0 = a \text{ et } r = r_1\\ v_{0}= b\text{ et } r= r_2\end{array}
Alors montrons que la somme est bien une suite arithmétique :
\begin{array}{l} u_n = a + nr_1\\ v_n=b + nr_2 \end{array}
Alors, u_n + v_n = a + b + n(r_1+r_2)
Ce qui signifie que u+v est une suite de premier terme a+b et de raison r_1+r_2.
Une suite arithmétique multipliée par une constante c reste une suite arithmétique.
Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme a et de raison r. Soit c une constante.
La suite s’écrit en fonction de n comme u_n = a+nr
Si on multiplie tout par c, cu_n = ca + cnr = ca + ncr
La suite cu_n est donc arithmétique de premier terme ca et de raison cr
Attention : Le produit de 2 suites arithmétiques n’est pas une suite arithmétique.
Soit (u_n) la suite définie par un = 2n + 1, (u_n) est bien une suite arithmétique.
Soit (v_n) la suite définie par un = 4n + 3, (v_n) est bien une suite arithmétique.
On appelle (w_n) la suite issue du produit entre (u_n) et (v_n).
On a les résultats suivants :
\begin{array}{l} w_0=u_0v_0 = 2 \times 4 = 8 \\ w_1= u_1v_1 = 3 \times 7 = 21\\ w_2=u_2v_2 = 4 \times 9 = 36 \end{array}
Calculons alors la différence entre les termes successifs :
\begin{array}{l} w_1-w_0=21-8 = 12\\ w_2-w_1 = 36-21 = 15 \end{array}
Donc la suite (wn+1-wn) n’est pas une suite égale à la raison. Donc cela ne peut pas être une suite arithmétique.
Somme des termes d’une suite arithmétique
Voici les formules permettant de calculer la somme des termes d’une suite arithmétique
\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+ \ldots+u_n = \dfrac{n+1}{2}(u_0+u_n)
Et voici une formule plus générale :
\forall n,p \in \N, p\leq n, \sum_{k=p}^n u_k=u_p+u_1+ \ldots+u_n = \dfrac{n-p+1}{2}(u_p+u_n)
En fait cette formule se résume en nombre de termes x (plus petit terme + plus grand terme)
n – p + 1 est bien le nombre de termes. De 2 à 10 il y a bien 10 – 2 + 1 = 9 termes. Si on détaille, les 9 termes sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
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Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé :
Soit la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 3.
- Ecrire cette suite en fonction de n
- Calculer la somme de ses termes de 0 à n
Corrigé :
- Cette suite peut s’écrire d’après le cours u_n = 2n + 3.
- D’après la formule ci-dessus, la somme de ses termes de 0 à n vaut (n+1)\times (u_0+u_n) = \dfrac{n+1}{2} (3+2n+3) = \dfrac{n+1}{2}(2n+6)=(n+1)(n+3) en factorisant le plus possible.
Exercice 2
Enoncé : Calculer la somme S = 1 + 5 + \ldots + 101
Corrigé : On reconnait la somme des termes d’une suite arithmétique avec u_0 = 1 et de raison 4. On somme alors 26 termes et le plus grand terme est 101, le plus petit est 1. On a donc :
S = \dfrac{26}{2} \times (1+101) = 13 \times 102 = 1326
La valeur recherchée est donc 2652.
Exercice 3
Enoncé : Démontrer qu’une suite vérifiant la relation suivante : pour tout entier non nul 2u_n = u_{n-1} + u_{n+1} est une suite arithmétique.
Corrigé : C’est juste un jeu d’écriture. En effet,
2u_n = u_{n-1} + u_{n+1} \iff u_n - u_{n-1}=u_{n+1} -u_n
Donc la différence entre chaque terme est constante. On note donc la raison r = u_{n+1} -u_n
Exercices
Exercice 1
1. Soit u0 = 4 et r = 3. Déterminer u21
2. Soit u2 = 2 et r = 2. Déterminer u37
3. Soit u9 = 8 et r = -3. Déterminer u3
4. Soit u100 = 900 et r = 7. Déterminer u0
Exercice 2
Soit la suite (u_n) définie par u_n = 5-2n
- Calculer les 4 premiers termes
- Démontrer que (u_n) est une suite arithmétique. Donner sa raison
- Quelle est la valeur du 77-ème terme ?
- Calculer la somme des 77 premiers termes.
Exercice 3
Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Quand c’est le cas, donner le premier terme et la raison
- u_n = \dfrac{n+1}{n+5}
- u_n = \dfrac{3n+12}{6}
- u_n =\dfrac{n^2+3n+2}{n+2}
- u_n = \dfrac{n^2+4}{n+2}
Exercice 4
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et et pour tout n entier :
u_{n+1} = \sqrt{4+u_n^2}
On pose aussi vn définie par vn = un2.
1. Montrer que (vn) est une suite arithmétique
2. Exprimer vn en fonction de n.
3. En déduire une expression de un en fonction de n
Exercice 5
Calculer la somme des entiers naturels entre 100 et 1000.
Exercice 6
On considère la suite définie par u_n = \sqrt{5+u_n^2} et u_0 =1
- Montrer que (u_n) n’est ni arithmétique, ni géométrique
- On pose pour tout entier naturel n, v_n = u_n^2. Démontrer que (v_n) est arithmétique. Donner son premier terme et sa raison.
- Exprimer v_n en fonction de n
- En déduire l’expression de u_n en fonction de n
Et si vous souhaitez aller plus loin :