Au sommaire de cet article
Aujourd’hui article dédié au binôme de Newton, qui est une formule mathématique. C’est le même Newton que celui qui a découvert la gravité. Newton n’a pas dû s’ennuyer au cours de sa vie !
Prérequis
Formule
Soient x et y deux réels. Soit n un entier. La formule du binôme de Newton est la suivante :
\left(x+y\right)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}Démonstration
On va démontrer le résultat par récurrence.
Initialisation :
On va donc montrer le résultat pour n = 0 :
D’une part : (x+y)0 = 1. Pour rappel, tout nombre élevé à la puissance 0 vaut 1.
D’autre part,
\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}\ =\ \binom{0}{0}x^0y^{0-0}\ =\ 1\ \times\ 1\ \times\ 1L’initialisation est donc vérifiée ! On peut maintenant passer à l’hérédité.
Hérédité :
On suppose que pour un n fixé, la propriété est vraie :
\forall x,y \in \R, (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k}On veut montrer que la propriété est vraie au rang suivant, c’est à dire que
\forall\ x,y\ \in\mathbb{R},\ \left(x+y\right)^{n+1}\ =\ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\ x^{k\ }y^{n+1-k}Démarrons les calculs ! Ces derniers peuvent être un peu compliqués, mais c’est parti ! Accrochez-vous !
\begin{array}{l}(x+y)^{n+1}=\left(x+y\right)^n\left(x+y\right)\\ \\
\text{On utilise l'hypothèse de récurrence}\\
=\displaystyle \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}\right)\left(x+y\right)\\\\
=\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(x^{k+1}y^{n-k}+x^ky^{n+1-k}\right)\\\\
\text{On utilise la linéarité de la somme}\\
=\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}y^{n-k}\ +\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}\\\\
\text{On fait un changement d'indice}\\=\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}\ +\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}\\\\
\text{On extrait les termes extrêmes}\\
=\displaystyle \binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\\\
\text{On utilise la linéarité de la somme} \\
=\displaystyle \binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1}\ +\ \binom{n}{k}\right)x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\\end{array}On utilise ensuite la formule de Pascal
\begin{array}{l}=\ \ \displaystyle\binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\ \\
\text{En remarquant que } \displaystyle \binom{n}{n}\ =\ 1\ =\ \binom{n+1}{n+1}\\\\
\text{Et que }\displaystyle \binom{n}{0}\ =\ 1\ =\ \binom{n+1}{0}\\\\
\text{ On remarque que les termes extérieurs sont des termes de la somme } \\
=\ \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\ x^ky^{n+1-k}\end{array}Ce qui fait qu’après tous ces calculs, on vérifie bien l’hérédité.
On vient donc de démontrer le binôme de Newton par récurrence.
Exemples
Exemple 1
Que vaut
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \ ?La démonstration est assez simple, on applique le binôme de Newton :
\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ 1^k1^{n-k}\ =\ \left(1+1\right)^n=2^nExemple 2
Calculer la somme suivante :
\sum_{k=0}^{\ n}k\binom{n}{k}\ Présentons 2 méthodes :
Première méthode : Via un changement d’indice.
En posant k’ = n – k, on obtient :
\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{k=0}^{\ n}k\binom{n}{k}\ \ =\ \text{(changement d'indice)}\ \sum_{k=0}^n\left(n-k\right)\ \binom{n}{n-k}\\ \\
=\ \text{(symétrie des coefficients binomiaux )} \sum_{k=0}^n\left(n-k\right)\ \binom{n}{k}\\ \\
=\displaystyle \sum_{k=0}^nn\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\
=\displaystyle n\sum_{k=0}^n\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\
=\displaystyle n2^n-\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\end{array}Bilan : On obtient alors
\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ \\ \\
\text{On obtient alors} \\
\displaystyle2\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ \\ \\
\text{Et donc finalement}\\
\displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ \frac{n2^n}{2}=\ n2^{n-1}\end{array} \\Deuxième méthode : On utilise la formule suivante :
k\ \binom{n}{k}\ =\ n\ \binom{n-1}{k-1}Déroulons les calculs :
\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ \\ \\
\text{Le premier terme de la somme est nul}\\
=\displaystyle\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}\ \ \\ \\
=\displaystyle \sum_{k=1}^nn\ \binom{n-1}{k-1}\\ \\
=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}n\ \binom{n-1}{k}\ \\ \\
\text{On sort n, la constante}\\
=\displaystyle n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\\ \\
\text{On utilise le résultat de l'exemple 1}\\
=n\ 2^{n-1}\end{array}Bonus : Binôme de Newton appliqué dans des cas autres que les nombres réels ou complexes.
Binôme de Newton appliqué aux matrices
Si A et B sont deux matrices qui commutent. On peut alors appliquer la même formule :
(A+B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A^kB^{n-k}Binôme de Newton appliqué aux endomorphismes
Si u et v sont deux endomorphismes qui commutent. On a là aussi le binôme qui s’applique :
(u+v)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^kv^{n-k}où uk signifie u o u composée n fois
Binôme de Newton appliqué aux corps et aux anneaux
Si a et b sont deux éléments d’un corps ou deux éléments qui commutent dans un anneau. On a une fois de plus le binôme qui s’applique :
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k}Le multinôme de Newton
Pour aller plus loin : Voici la formule du multinôme de Newton. Elle permet de développer la puissance n-ième d’une somme à n facteurs :
(x_1+\ldots+x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\ldots+k_m=n} \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\ldots x_m^{k_m}Avec
\binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}= \dfrac{n}{k_1!k_2!\ldots k_m!}Nous proposons d’ailleurs cette démonstration en exercice, qui est un exercice de dénombrement :
Exercices
Exercice 1
Simplifier, pour tout n, la somme suivante (attention au cas n=0)
\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^{k\ }\binom{n}{k}Exercice 2
En s’inspirant de l’exemple 2, calculer
\sum_{k=0}^nk\left(k-1\right)\binom{n}{k}En déduire
\sum_{k=0}^nk^2\binom{n}{k}Exercice 3
Calculer la somme suivante
\sum_{k=0}^n\frac{\binom{n}{k}}{k+1}Exercice 4
Quel est le coefficient de x3y6 dans (x-y)9 ?
Exercice 5
En utilisant la symétrie des coefficients binomiaux, calculer
S_n = \sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k}On peut aussi utiliser
\begin{array}{l}
\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}\\ \\
En\ calculant\ S_{n\ }+\ T_{n\ }\ et\ S_{n\ }-\ T_n\end{array}Exercice 6 (niveau prépa)
Simplifier la somme suivante
\left\lfloor\left(1+\sqrt{3}\right)^{2n+1}\right\rfloorCet article vous a plus ? Voici nos autres articles liés à des cours de maths :
