Aujourd’hui article dédié au binôme de Newton, qui est une formule mathématique. C’est le même Newton que celui qui a découvert la gravité. Newton n’a pas dû s’ennuyer au cours de sa vie !

Prérequis

Définition

Soient x et y deux réels. Soit n un entier. La formule du binôme de Newton est la suivante :

\left(x+y\right)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}

Démonstration

On va démontrer le résultat par récurrence.

Initialisation :
On va donc montrer le résultat pour n = 0 :
D’une part : (x+y)0 = 1. Pour rappel, tout nombre élevé à la puissance 0 vaut 1.
D’autre part,

\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}\ =\ \binom{0}{0}x^0y^{0-0}\ =\ 1\ \times\ 1\ \times\ 1

L’initialisation est donc vérifiée ! On peut maintenant passer à l’hérédité.

Hérédité :
On suppose que pour un n fixé, la propriété est vraie :

\forall x,y \in \R, (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k}

On veut montrer que la propriété est vraie au rang suivant, c’est à dire que

\forall\ x,y\ \in\mathbb{R},\ \left(x+y\right)^{n+1}\ =\ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\ x^{k\ }y^{n+1-k}

Démarrons les calculs ! Ces derniers peuvent être un peu compliqués, mais c’est parti ! Accrochez-vous !

\begin{array}{l}(x+y)^{n+1}=\left(x+y\right)^n\left(x+y\right)\\ \\
On\ utilise\ l^{\prime}hypothèse\ de\ récurrence\\\\
=\ \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}\right)\left(x+y\right)\\\\
=\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(x^{k+1}y^{n-k}+x^ky^{n+1-k}\right)\\\\
On\ utilisé\ la\ linéarité\ de\ la\ somme\\\\
=\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}y^{n-k}\ +\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}\\\\
On\ fait\ un\ changement\ d^{\prime}indice\\\\
=\ \sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}\ +\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}\\\\
On\ extrait\ les\ termes\ extrêmes\ \\\\
=\ \binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\\\
On\ utilise\ la\ linéarité\ de\ la\ somme\ \\\\
=\ \ \binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1}\ +\ \binom{n}{k}\right)x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\\end{array}

On utilise ensuite la formule de Pascal

\begin{array}{l}=\ \ \binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\ \\
En\ remarquant\ que\ \binom{n}{n}\ =\ 1\ =\ \binom{n+1}{n+1}\\\\
Et\ que\ \binom{n}{0}\ =\ 1\ =\ \binom{n+1}{0}\\\\
On\ remarque\ que\ les\ termes\ extérieurs\ sont\ des\ termes\ de\ la\ somme\\\\
=\ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\ x^ky^{n+1-k}\end{array}

Ce qui fait qu’après tous ces calculs, on vérifie bien l’hérédité.
On vient donc de montrer le binôme de Newton par récurrence.

Exemples

Exemple 1

Que \ vaut \sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} \ ?

La démonstration est assez simple, on applique le binôme de Newton :

\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ 1^k1^{n-k}\ =\ \left(1+1\right)^n=2^n

Exemple 2
Calculer la somme suivante :

\sum_{k=0}^{\ n}k\binom{n}{k}\ 

Présentons 2 méthodes :

Première méthode : Via un changement d’indice.
En posant k’ = n – k, on obtient :

\begin{array}{l}\sum_{k=0}^{\ n}k\binom{n}{k}\ \ =\ \left(changement\ d^{\prime}indice\right)\ \sum_{k=0}^n\left(n-k\right)\ \binom{n}{n-k}\\ \\
=\ \left(symétrie\ des\ coefficients\ binomiaux\right)\ \sum_{k=0}^n\left(n-k\right)\ \binom{n}{k}\\ \\
=\ \sum_{k=0}^nn\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\
=\ n\sum_{k=0}^n\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\
=\ n2^n-\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\end{array}

Bilan : On obtient alors

\begin{array}{l}\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ \\ \\
On\ obtient\ alors\\ \\
2\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ \\ \\
Et\ donc\ finalement\\ \\
\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ \frac{n2^n}{2}=\ n2^{n-1}\end{array} \\

Deuxième méthode : On utilise la formule suivante :

k\ \binom{n}{k}\ =\ n\ \binom{n-1}{k-1}

Déroulons les calculs :

\begin{array}{l}\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ \\ \\
Le\ premier\ terme\ de\ la\ somme\ est\ nul\\ \\
=\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}\ \ \\ \\
=\ \sum_{k=1}^nn\ \binom{n-1}{k-1}\\ \\
=\ \sum_{k=0}^{n-1}n\ \binom{n-1}{k}\ \\ \\
On\ sort\ n,\ la\ constante\\ \\
=\ n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\\ \\
On\ utilise\ le\ résultat\ de\ l^{\prime}exemple\ 1\\ \\
=\ n\ 2^{n-1}\end{array}

Exercices

Exercice 1
Simplifier, pour tout n, la somme suivante (attention au cas n=0)

\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^{k\ }\binom{n}{k}

Exercice 2
En s’inspirant de l’exemple 2, calculer

\sum_{k=0}^nk\left(k-1\right)\binom{n}{k}

En déduire

\sum_{k=0}^nk^2\binom{n}{k}

Exercice 3
Calculer la somme suivante

\sum_{k=0}^n\frac{\binom{n}{k}}{k+1}

Exercice 4
Quel est le coefficient de x3y6 dans (x-y)9 ?

Exercice 5
En utilisant la symétrie des coefficients binomiaux, calculer

S_n = \sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k}

On peut aussi utiliser

\begin{array}{l}T_n=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}\\ \\
En\ calculant\ S_{n\ }+\ T_{n\ }\ et\ S_{n\ }-\ T_n\end{array}

Exercice 6 (niveau prépa)

Simplifier la somme suivante

\left\lfloor\left(1+\sqrt{3}\right)^{2n+1}\right\rfloor

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