Le binôme de Newton : Cours et exercices corrigés

Définition, Démonstration, Exemples, Exercices. Vous saurez tout sur le binôme de Newton !
Pomme de Newton

Aujourd’hui article dédié au binôme de Newton, qui est une formule mathématique. C’est le même Newton que celui qui a découvert la gravité. Newton n’a pas dû s’ennuyer au cours de sa vie !

Prérequis

Formule

Soient x et y deux réels. Soit n un entier. La formule du binôme de Newton est la suivante :

\left(x+y\right)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}

Le binôme de Newton est donc une généralisation de l’identité remarquable (a+b)^2.

Démonstration

On va démontrer le résultat par récurrence.

Initialisation :
On va donc montrer le résultat pour n = 0 :
D’une part : (x+y)0 = 1. Pour rappel, tout nombre élevé à la puissance 0 vaut 1.
D’autre part,

\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}\ =\ \binom{0}{0}x^0y^{0-0}\ =\ 1\ \times\ 1\ \times\ 1

L’initialisation est donc vérifiée ! On peut maintenant passer à l’hérédité.

Hérédité :
On suppose que pour un n fixé, la propriété est vraie \forall x,y \in \R, (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k}

On veut montrer que la propriété est vraie au rang suivant, c’est à dire que

\forall\ x,y\ \in\mathbb{R},\ \left(x+y\right)^{n+1}\ =\ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\ x^{k\ }y^{n+1-k}

Démarrons les calculs ! Ces derniers peuvent être un peu compliqués, mais c’est parti ! Accrochez-vous ! On a (x+y)^{n+1}=\left(x+y\right)^n\left(x+y\right)
On utilise l’hypothèse de récurrence pour obtenir \displaystyle \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}\right)\left(x+y\right)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(x^{k+1}y^{n-k}+x^ky^{n+1-k}\right)
On utilise la linéarité de la somme. Ce qui fait qu’on obtient : \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}y^{n-k}\ +\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}

Ensuite, on fait un changement d’indice, ce qui nous donne : \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k} +\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}
Puis, on extrait les termes extrêmes : \displaystyle \binom{n}{0}x^{n+1}y^0 + \sum_{k=1}^n\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k} + \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}+ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}
On utilise à nouveau la linéarité de la somme : \displaystyle \binom{n}{0}x^{n+1}y^0 + \sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}\right)x^ky^{n+1-k}+ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}

On utilise ensuite la formule de Pascal : \displaystyle\binom{n}{0}x^{n+1}y^0 + \sum_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^ky^{n+1-k}+ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}.
Ensuite en remarquant que \displaystyle \binom{n}{n} = 1 =\ \binom{n+1}{n+1}
Et que \displaystyle \binom{n}{0} = 1 = \binom{n+1}{0}
On remarque que les termes extérieurs sont des termes de la somme. On obtient donc \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\ x^ky^{n+1-k}

Ce qui fait qu’après tous ces calculs, on vérifie bien l’hérédité.
On vient donc de démontrer le binôme de Newton par récurrence.

Exercices corrigés

Exercice 1

Que vaut \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} ?

La démonstration est assez simple, on applique le binôme de Newton :

\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ 1^k1^{n-k}\ =\ \left(1+1\right)^n=2^n

Exercice 2

Calculer la somme suivante \displaystyle \sum_{k=0}^{n}k \binom{n}{k}

Présentons 2 méthodes :

Première méthode : Via un changement d’indice.
En posant k' = n - k , on obtient \displaystyle \sum_{k=0}^{\ n}k\binom{n}{k}= (changement d’indice) \displaystyle \sum_{k=0}^n\left(n-k\right)\ \binom{n}{n-k}.
Ensuite, par la symétrie des coefficients binomiaux : \displaystyle \sum_{k=0}^n\left(n-k\right)\ \binom{n}{k}.
Finalement, on a :

\begin{array}{l}
=\displaystyle  \sum_{k=0}^nn\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\
=\displaystyle  n\sum_{k=0}^n\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\
=\displaystyle  n2^n-\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\end{array}

Bilan : On obtient alors \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}
Ce qui nous donne \displaystyle2\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n
Et donc finalement \displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ \frac{n2^n}{2}=\ n2^{n-1}

Deuxième méthode : On utilise la formule suivante k\ \binom{n}{k}\ =\ n\ \binom{n-1}{k-1}

Déroulons les calculs pour \displaystyle\sum_{k=0}^n k\ \binom{n}{k}
Le premier terme de la somme est nul, on a alors :

\begin{array}{ll}
\displaystyle\sum_{k=0}^n k\ \binom{n}{k}&=\displaystyle\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}\ \ \\ \\
&=\displaystyle \sum_{k=1}^nn\ \binom{n-1}{k-1}\\ \\
&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}n\ \binom{n-1}{k}\ \\ \\
\end{array}

On sort n , la constante pour obtenir \displaystyle n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}.
On utilise ensuite le résultat de l’exercice 1 et on obtient n2^{n-1}

Bonus : Binôme de Newton appliqué dans des cas autres que les nombres réels ou complexes.

Binôme de Newton appliqué aux matrices

Si A et B sont deux matrices qui commutent. On peut alors appliquer la même formule :

(A+B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A^kB^{n-k}

Binôme de Newton appliqué aux endomorphismes

Si u et v sont deux endomorphismes qui commutent. On a là aussi le binôme qui s’applique :

(u+v)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^kv^{n-k}

où uk signifie u o u composée n fois

Binôme de Newton appliqué aux corps et aux anneaux

Si a et b sont deux éléments d’un corps ou deux éléments qui commutent dans un anneau. On a une fois de plus le binôme qui s’applique :

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k}

Le multinôme de Newton

Pour aller plus loin : Voici la formule du multinôme de Newton. Elle permet de développer la puissance n-ième d’une somme à n facteurs :

(x_1+\ldots+x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\ldots+k_m=n} \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\ldots x_m^{k_m}

Avec

 \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}= \dfrac{n}{k_1!k_2!\ldots k_m!}

Nous proposons d’ailleurs cette démonstration en exercice, qui est un exercice de dénombrement :

Généralisation binôme de Newton

Exercices

Exercice 1

Simplifier, pour tout n, la somme suivante (attention au cas n=0)

\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^{k\ }\binom{n}{k}

Exercice 2

En s’inspirant de l’exemple 2, calculer \displaystyle \sum_{k=0}^nk\left(k-1\right)\binom{n}{k}

En déduire \displaystyle \sum_{k=0}^nk^2\binom{n}{k}

Exercice 3

Calculer la somme suivante : \sum_{k=0}^n\frac{\binom{n}{k}}{k+1}

Exercice 4

Quel est le coefficient de x^3y^6 dans (x-y)^9 ?

Exercice 5

En utilisant la symétrie des coefficients binomiaux, calculer

S_n = \sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k}

On peut aussi utiliser

T_n=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}

En calculant S_n + T_n et S_n - T_n

Exercice 6 (niveau prépa)

Simplifier la somme suivante

\left\lfloor\left(1+\sqrt{3}\right)^{2n+1}\right\rfloor

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