Aujourd’hui article dédié au binôme de Newton, qui est une formule mathématique. C’est le même Newton que celui qui a découvert la gravité. Newton n’a pas dû s’ennuyer au cours de sa vie !
Prérequis
Formule
Soient x et y deux réels. Soit n un entier. La formule du binôme de Newton est la suivante :
\left(x+y\right)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}Le binôme de Newton est donc une généralisation de l’identité remarquable (a+b)^2.
Démonstration
On va démontrer le résultat par récurrence.
Initialisation :
On va donc montrer le résultat pour n = 0 :
D’une part : (x+y)0 = 1. Pour rappel, tout nombre élevé à la puissance 0 vaut 1.
D’autre part,
\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}\ =\ \binom{0}{0}x^0y^{0-0}\ =\ 1\ \times\ 1\ \times\ 1L’initialisation est donc vérifiée ! On peut maintenant passer à l’hérédité.
Hérédité :
On suppose que pour un n fixé, la propriété est vraie \forall x,y \in \R, (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k}
On veut montrer que la propriété est vraie au rang suivant, c’est à dire que
\forall\ x,y\ \in\mathbb{R},\ \left(x+y\right)^{n+1}\ =\ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\ x^{k\ }y^{n+1-k}Démarrons les calculs ! Ces derniers peuvent être un peu compliqués, mais c’est parti ! Accrochez-vous ! On a (x+y)^{n+1}=\left(x+y\right)^n\left(x+y\right)
On utilise l’hypothèse de récurrence pour obtenir \displaystyle \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{n-k}\right)\left(x+y\right)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(x^{k+1}y^{n-k}+x^ky^{n+1-k}\right)
On utilise la linéarité de la somme. Ce qui fait qu’on obtient : \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}y^{n-k}\ +\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}
Ensuite, on fait un changement d’indice, ce qui nous donne : \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k} +\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}
Puis, on extrait les termes extrêmes : \displaystyle \binom{n}{0}x^{n+1}y^0 + \sum_{k=1}^n\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k} + \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}+ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}
On utilise à nouveau la linéarité de la somme : \displaystyle \binom{n}{0}x^{n+1}y^0 + \sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}\right)x^ky^{n+1-k}+ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}
On utilise ensuite la formule de Pascal : \displaystyle\binom{n}{0}x^{n+1}y^0 + \sum_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^ky^{n+1-k}+ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}.
Ensuite en remarquant que \displaystyle \binom{n}{n} = 1 =\ \binom{n+1}{n+1}
Et que \displaystyle \binom{n}{0} = 1 = \binom{n+1}{0}
On remarque que les termes extérieurs sont des termes de la somme. On obtient donc \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\ x^ky^{n+1-k}
Ce qui fait qu’après tous ces calculs, on vérifie bien l’hérédité.
On vient donc de démontrer le binôme de Newton par récurrence.
La démonstration en vidéo
Pour ceux qui préfèrent, voici la démonstration du binôme de Newton en vidéo :
Exercices corrigés
Exercice 1
Que vaut \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} ?
La démonstration est assez simple, on applique le binôme de Newton :
\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ 1^k1^{n-k}\ =\ \left(1+1\right)^n=2^nExercice 2
Calculer la somme suivante \displaystyle \sum_{k=0}^{n}k \binom{n}{k}
Présentons 2 méthodes :
Première méthode : Via un changement d’indice.
En posant k' = n - k , on obtient \displaystyle \sum_{k=0}^{\ n}k\binom{n}{k}= (changement d’indice) \displaystyle \sum_{k=0}^n\left(n-k\right)\ \binom{n}{n-k}.
Ensuite, par la symétrie des coefficients binomiaux : \displaystyle \sum_{k=0}^n\left(n-k\right)\ \binom{n}{k}.
Finalement, on a :
\begin{array}{l}
=\displaystyle \sum_{k=0}^nn\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\
=\displaystyle n\sum_{k=0}^n\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\
=\displaystyle n2^n-\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\end{array}Bilan : On obtient alors \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}
Ce qui nous donne \displaystyle2\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n
Et donc finalement \displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ \frac{n2^n}{2}=\ n2^{n-1}
Deuxième méthode : On utilise la formule suivante k\ \binom{n}{k}\ =\ n\ \binom{n-1}{k-1}
Déroulons les calculs pour \displaystyle\sum_{k=0}^n k\ \binom{n}{k}
Le premier terme de la somme est nul, on a alors :
\begin{array}{ll}
\displaystyle\sum_{k=0}^n k\ \binom{n}{k}&=\displaystyle\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}\ \ \\ \\
&=\displaystyle \sum_{k=1}^nn\ \binom{n-1}{k-1}\\ \\
&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}n\ \binom{n-1}{k}\ \\ \\
\end{array}On sort n , la constante pour obtenir \displaystyle n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}.
On utilise ensuite le résultat de l’exercice 1 et on obtient n2^{n-1}
Bonus : Binôme de Newton appliqué dans des cas autres que les nombres réels ou complexes.
Binôme de Newton appliqué aux matrices
Si A et B sont deux matrices qui commutent. On peut alors appliquer la même formule :
(A+B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A^kB^{n-k}Binôme de Newton appliqué aux endomorphismes
Si u et v sont deux endomorphismes qui commutent. On a là aussi le binôme qui s’applique :
(u+v)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^kv^{n-k}où uk signifie u o u composée n fois
Binôme de Newton appliqué aux corps et aux anneaux
Si a et b sont deux éléments d’un corps ou deux éléments qui commutent dans un anneau. On a une fois de plus le binôme qui s’applique :
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k}Le multinôme de Newton
Pour aller plus loin : Voici la formule du multinôme de Newton. Elle permet de développer la puissance n-ième d’une somme à n facteurs :
(x_1+\ldots+x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\ldots+k_m=n} \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\ldots x_m^{k_m}Avec
\binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}= \dfrac{n}{k_1!k_2!\ldots k_m!}Nous proposons d’ailleurs cette démonstration en exercice, qui est un exercice de dénombrement :
Exercices
Exercice 1
Simplifier, pour tout n, la somme suivante (attention au cas n=0)
\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^{k\ }\binom{n}{k}Exercice 2
En s’inspirant de l’exemple 2, calculer \displaystyle \sum_{k=0}^nk\left(k-1\right)\binom{n}{k}
En déduire \displaystyle \sum_{k=0}^nk^2\binom{n}{k}
Exercice 3
Calculer la somme suivante : \sum_{k=0}^n\frac{\binom{n}{k}}{k+1}
Exercice 4
Quel est le coefficient de x^3y^6 dans (x-y)^9 ?
Exercice 5
En utilisant la symétrie des coefficients binomiaux, calculer
S_n = \sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k}On peut aussi utiliser
T_n=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}
En calculant S_n + T_n et S_n - T_n
Exercice 6 (niveau prépa)
Simplifier la somme suivante
\left\lfloor\left(1+\sqrt{3}\right)^{2n+1}\right\rfloorCet article vous a plus ? Voici nos autres articles liés à des cours de maths :
