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Racines de l'unité
Exercices corrigés

Exercice corrigé : Racines de l’unité

Voici l’énoncé d’un exercice sur les racines de l’unité, c’est un exercice se rapportant au chapitre des nombres complexes et plus précisément sur les racines de l’unité. N’oubliez pas notre pense-bête (appelé aussi cheat sheet en langage « moderne ») sur les formules des nombres complexes

Exercice 1

Racines de l'unité

Question 1

Commençons par simplifier l’égalité de droite. Pour cela, on utilise le cours sur les suites géométriques :

\begin{array}{l}
\text{Si } z\neq 1,\displaystyle \sum_{l=0}^{n-1} z^l = \dfrac{z^n-1}{z-1} 
\end{array}

Simplifions maintenant zn -1.
Le cours sur les identités remarquables permet de factoriser et d’obtenir que les solutions sont les racines de l’unité. Mais si on ne connait pas ce point là, redémontrons le. Ecrivons z sous la forme trigonométrique :

\begin{array}{l}
z = re^{i \theta}
\end{array}

Et maintenant résolvons l’équation :

\begin{array}{l}
z^n = 1\\
\Leftrightarrow (re^{i\theta})^n = 1\\
\Leftrightarrow r^n e^{in\theta} = 1\times e^{i0}\\
\Leftrightarrow r^n = 1 \text{ et }n \theta \equiv 0 [2\pi]\\
\text{On a } r>0\text{ donc}\\
\Leftrightarrow r = 1 \text{ et } \theta \equiv 0 \left[\frac{2\pi}{n}\right]\\ 
\Leftrightarrow r = 1 \text{ et } \theta  =\frac{2k\pi}{n} ,k \in \{0,\ldots,n-1\}\\
\Leftrightarrow z = e^{\frac{2ik\pi}{n}} ,k \in \{0,\ldots,n-1\}\\
\Leftrightarrow z = \omega^k
\end{array}

Ainsi, on a

\begin{array}{l}
z^n - 1 = \displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} (z-\omega^k)\\
z^n-1 =\displaystyle (z-\omega^0) \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k)\\
z^n-1 =\displaystyle (z-1) \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k)\\
\text{On a donc } \dfrac{z^n-1}{z-1} =\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k)
\end{array}

Ce qui va nous permettre de conclure. En effet :

\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k) = \dfrac{z^n-1}{z-1}=\sum_{l=0}^{n-1}z^l

Question 2

Soit f et g les fonctions définies par

\begin{array}{l}
f(z) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k)\\
g(z) = \displaystyle \sum_{l=0}^{n-1}z^l
\end{array}

f et g sont toutes les deux des fonctions continues sur les nombres complexes, égales en point sauf différent de 1. En utilisant le théorème du prolongement par continuité, on obtient que f(1) = g(1), ce qui répond bien à la question.

Question 3

Prenons z = 1 dans l’égalité précédente. D’une part, on a

\displaystyle \sum_{l=0}^{n-1}1^l= \sum_{l=0}^{n-1}1= n

D’autre part :

\begin{array}{l}
\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (1-\omega^k)\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (1-e^{\frac{2ik\pi}{n}})\\
\text{On factorise par l'arc moitié}\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} e^{\frac{ik\pi}{n}}(e^{\frac{-ik\pi}{n}}-e^{\frac{ik\pi}{n}})\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -e^{\frac{ik\pi}{n}}(e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}})\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\dfrac{e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}}}{2i}\\
\text{On décompose le produit}\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}}}{2i}\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\\
\end{array}

On a alors l’égalité suivante :

\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = n

Pour simplifier facilement le premier terme, on va prendre le module de chaque côté.

\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\left| -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\right|\prod_{k=1}^{n-1}\left|\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \right|= n

On a :

\begin{array}{l}
\left| -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\right| = 2 \\
\left|\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \right| = \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)
\end{array}

On se retrouve finalement avec l’égalité :

\begin{array}{l}
\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} 2\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = n\\
\Leftrightarrow \displaystyle  2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = n\\
\Leftrightarrow \displaystyle  \prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \dfrac{n}{2^{n-1}}
\end{array}

Ce qui est bien le résultat voulu.

Exercice 2

Nous vous proposons en vidéo la correction de cet exercice :

Racines de l'unité et cercle unité

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