Voici l’énoncé d’un exercice sur les racines de l’unité, c’est un exercice se rapportant au chapitre des nombres complexes. N’oubliez pas notre pense-bête (appelé aussi cheat sheet en langage « moderne ») sur les formules des nombres complexes

Racines de l'unité

Question 1

Commençons par simplifier l’égalité de droite. Pour cela, on utilise le cours sur les suites géométriques :

\begin{array}{l}
\text{Si } z\neq 1,\displaystyle \sum_{l=0}^{n-1} z^l = \dfrac{z^n-1}{z-1} 
\end{array}

Simplifions maintenant zn -1.
Le cours sur les identités remarquables permet de factoriser et d’obtenir que les solutions sont les racines de l’unité. Mais si on ne connait pas ce point là, redémontrons le. Ecrivons z sous la forme trigonométrique :

\begin{array}{l}
z = re^{i \theta}
\end{array}

Et maintenant résolvons l’équation :

\begin{array}{l}
z^n = 1\\
\Leftrightarrow (re^{i\theta})^n = 1\\
\Leftrightarrow r^n e^{in\theta} = 1\times e^{i0}\\
\Leftrightarrow r^n = 1 \text{ et }n \theta \equiv 0 [2\pi]\\
\text{On a } r>0\text{ donc}\\
\Leftrightarrow r = 1 \text{ et } \theta \equiv 0 \left[\frac{2\pi}{n}\right]\\ 
\Leftrightarrow r = 1 \text{ et } \theta  =\frac{2k\pi}{n} ,k \in \{0,\ldots,n-1\}\\
\Leftrightarrow z = e^{\frac{2ik\pi}{n}} ,k \in \{0,\ldots,n-1\}\\
\Leftrightarrow z = \omega^k
\end{array}

Ainsi, on a

\begin{array}{l}
z^n - 1 = \displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} (z-\omega^k)\\
z^n-1 =\displaystyle (z-\omega^0) \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k)\\
z^n-1 =\displaystyle (z-1) \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k)\\
\text{On a donc } \dfrac{z^n-1}{z-1} =\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k)
\end{array}

Ce qui va nous permettre de conclure. En effet :

\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k) = \dfrac{z^n-1}{z-1}=\sum_{l=0}^{n-1}z^l

Question 2

Soit f et g les fonctions définies par

\begin{array}{l}
f(z) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (z-\omega^k)\\
g(z) = \displaystyle \sum_{l=0}^{n-1}z^l
\end{array}

f et g sont toutes les deux des fonctions continues sur les nombres complexes, égales en point sauf différent de 1. En utilisant le théorème du prolongement par continuité, on obtient que f(1) = g(1), ce qui répond bien à la question.

Question 3

Prenons z = 1 dans l’égalité précédente. D’une part, on a

\displaystyle \sum_{l=0}^{n-1}1^l= \sum_{l=0}^{n-1}1= n

D’autre part :

\begin{array}{l}
\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (1-\omega^k)\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} (1-e^{\frac{2ik\pi}{n}})\\
\text{On factorise par l'arc moitié}\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} e^{\frac{ik\pi}{n}}(e^{\frac{-ik\pi}{n}}-e^{\frac{ik\pi}{n}})\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -e^{\frac{ik\pi}{n}}(e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}})\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\dfrac{e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}}}{2i}\\
\text{On décompose le produit}\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}}}{2i}\\
=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\\
\end{array}

On a alors l’égalité suivante :

\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = n

Pour simplifier facilement le premier terme, on va prendre le module de chaque côté.

\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\left| -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\right|\prod_{k=1}^{n-1}\left|\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \right|= n

On a :

\begin{array}{l}
\left| -2ie^{\frac{ik\pi}{n}}\right| = 2 \\
\left|\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \right| = \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)
\end{array}

On se retrouve finalement avec l’égalité :

\begin{array}{l}
\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} 2\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = n\\
\Leftrightarrow \displaystyle  2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = n\\
\Leftrightarrow \displaystyle  \prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \dfrac{n}{2^{n-1}}
\end{array}

Ce qui est bien le résultat voulu.
Cet exercice vous a plu ?

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