Les formules sur les nombres complexes

Le but de cet article est de résumer l’ensemble des formules des nombres complexes. Un pense-bête à garder avec soi si on a une incertitude sur les nombres complexes.

Les formules de base

\begin{array}{l}
i^2 = -1\\
\forall a \in \R_+,\ \sqrt{-a} = i\sqrt{a}
\end{array}

Distributivité et linéarité

Ces formules sont vraies pour tout a, b, c et d réels :

\begin{array}{l}
(a+ib)+(c+id) = a+c+i(b+d) \\
(a+ib)-(c+id) = a-c+i(b-d) \\
(a+ib)(c+id) = ac-bd + i(ad+bc)\\
(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2
\end{array}

Les formules des nombres complexes autour du module

Soit un complexe défini par z = a+ib avec a et b réels. Il est important ici que a et b soient bien réels.
On note |z| son module.

\begin{array}{l}
|z| = \sqrt{a^2+b^2}  \\
z\bar{z} = (a+ib)(a-ib)= a^2+b^2 = |z| ^2\\
\forall (z,z')\in\mathbb C^2, |z\times z'| = |z|\times|z'|\\
|z|^2 = |z^2|\\
\dfrac{1}{|z|} = \left| \dfrac{1}{z} \right|\\
\end{array}

Et, de manière plus générale :

 \forall n \in \Z, |z^n| = |z|^n

On a aussi l’inégalité triangulaire :

\forall z,z' \in \mathbb{C}, |z+z'| \leq |z|+|z'|

Les formules des nombres complexes autour de l’argument

Soient z = a+ib et z’ = a’+ib’ deux nombres complexes non nuls. Car oui, on ne peut parler de l’argument d’un complexe que s’il est non nul.. On note θ = arg(z). On a les relations suivantes :

\begin{array}{l}
\cos(\theta) = \dfrac{Re(z)}{|z|} =  \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ 
\sin(\theta) = \dfrac{Im(z)}{|z|} =  \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} 
\end{array}

Et ces formules ci sont aussi importantes :

\begin{array}{l}
\arg(z.z') = \arg(z) +\arg(z') \\ 
\arg \left( \dfrac{z}{z'} \right) = arg(z) - arg(z')\\
\arg(\bar z) = -\arg (z)\\
\arg(z^n)= n\arg(z)
\end{array}

On a aussi la formule de l’argument, qui peut parfois aider. Mais encore faut-il savoir la redémontrer :

Si\ z \notin \R_-^*, \theta= \arg(z)=2\arctan\left(\dfrac{Im(z)}{Re(z) + |z|}\right)=2\arctan\left(\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)+1}\right)

Parties réelles et imaginaires

Soit z un nombre complexe. On note Re sa partie réelle et Im sa partie imaginaire. Les formules suivantes sont vraies :

\begin{array}{l}
\Re(z) = \dfrac{z+\bar z }{2}\\
\Im(z) = \dfrac{z-\bar z }{2i}
\end{array}

On a aussi ces 2 formules :

\begin{array}{l}
\Re(z) =\Re(\bar z )\\
\Im(z) = -\Im(\bar z)
\end{array}

Et en voici 2 autres pour finir cette section :

\begin{array}{l}
|\Re(z)| \leq |z|\\
|\Im(z)| \leq|z|
\end{array}

Formules de Moivre et d’Euler

Et pour le lien avec la fiche de formules sur les sinus et cosinus (à mettre aussi dans vos favoris !), remettons aussi les formules de Moivre et d’Euler

Formule de Moivre

Voici ce que la formule de Moivre affirme :

\forall x \in \R, (\cos(x) + i \sin(x))^n=\left(e^{ix}\right)^n=e^{inx}= \cos(nx)+i \sin(nx)

Formule d’Euler

La formule d’Euler, qui est une relation reliant cosinus, sinus et exponentielle, est la suivante :

e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) 

On en déduit la formule suivante, qui met en relation, e, i, π et -1, en prenant x = π dans l’équation au-dessus

e^{i\pi} = -1

Formules inclassables mais bien utiles

Voici quelques autres formules inclassables mais bien utiles, et donc à retenir.

\begin{array}{l}
\dfrac{1}{a+ib} = \dfrac{a-ib}{a^2+b^2}\\ \\
\bar{\bar{z}} = z\\\\
\end{array}

De plus, il faut savoir que l’équation zⁿ = 1 a n solutions. Ces solutions sont appelées racines nièmes de l’unité. Leurs valeurs sont

e^{i \frac{2k\pi}{n}}, \ k \in \{0,\ldots,n-1\} 

Il faut aussi savoir que la formule du binôme de Newton s’applique aussi pour les nombres complexes.

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