Le but de cet article est de résumer l’ensemble des formules des nombres complexes. Un pense-bête à garder avec soi si on a une incertitude sur les nombres complexes.
Les formules de base
\begin{array}{l} i^2 = -1\\ \forall a \in \R_+,\ \sqrt{-a} = i\sqrt{a} \end{array}
Distributivité et linéarité
Ces formules sont vraies pour tout a, b, c et d réels :
\begin{array}{l} (a+ib)+(c+id) = a+c+i(b+d) \\ (a+ib)-(c+id) = a-c+i(b-d) \\ (a+ib)(c+id) = ac-bd + i(ad+bc)\\ (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 \end{array}
Les formules des nombres complexes autour du module
Soit un complexe défini par z = a+ib avec a et b réels. Il est important ici que a et b soient bien réels.
On note |z| son module.
\begin{array}{l} |z| = \sqrt{a^2+b^2} \\ z\bar{z} = (a+ib)(a-ib)= a^2+b^2 = |z| ^2\\ \forall (z,z')\in\mathbb C^2, |z\times z'| = |z|\times|z'|\\ |z|^2 = |z^2|\\ \dfrac{1}{|z|} = \left| \dfrac{1}{z} \right|\\ \end{array}
Et, de manière plus générale :
\forall n \in \Z, |z^n| = |z|^n
On a aussi l’inégalité triangulaire :
\forall z,z' \in \mathbb{C}, |z+z'| \leq |z|+|z'|
Les formules des nombres complexes autour de l’argument
Soient z = a+ib et z’ = a’+ib’ deux nombres complexes non nuls. Car oui, on ne peut parler de l’argument d’un complexe que s’il est non nul.. On note θ = arg(z). On a les relations suivantes :
\begin{array}{l} \cos(\theta) = \dfrac{Re(z)}{|z|} = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sin(\theta) = \dfrac{Im(z)}{|z|} = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array}
Et ces formules ci sont aussi importantes :
\begin{array}{l} \arg(z.z') = \arg(z) +\arg(z') \\ \arg \left( \dfrac{z}{z'} \right) = arg(z) - arg(z')\\ \arg(\bar z) = -\arg (z)\\ \arg(z^n)= n\arg(z) \end{array}
On a aussi la formule de l’argument, qui peut parfois aider. Mais encore faut-il savoir la redémontrer :
Si\ z \notin \R_-^*, \theta= \arg(z)=2\arctan\left(\dfrac{Im(z)}{Re(z) + |z|}\right)=2\arctan\left(\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)+1}\right)
Parties réelles et imaginaires
Soit z un nombre complexe. On note Re sa partie réelle et Im sa partie imaginaire. Les formules suivantes sont vraies :
\begin{array}{l} \Re(z) = \dfrac{z+\bar z }{2}\\ \Im(z) = \dfrac{z-\bar z }{2i} \end{array}
On a aussi ces 2 formules :
\begin{array}{l} \Re(z) =\Re(\bar z )\\ \Im(z) = -\Im(\bar z) \end{array}
Et en voici 2 autres pour finir cette section :
\begin{array}{l} |\Re(z)| \leq |z|\\ |\Im(z)| \leq|z| \end{array}
Formules de Moivre et d’Euler
Et pour le lien avec la fiche de formules sur les sinus et cosinus (à mettre aussi dans vos favoris !), remettons aussi les formules de Moivre et d’Euler
Formule de Moivre
Voici ce que la formule de Moivre affirme :
\forall x \in \R, (\cos(x) + i \sin(x))^n=\left(e^{ix}\right)^n=e^{inx}= \cos(nx)+i \sin(nx)
Formule d’Euler
La formule d’Euler, qui est une relation reliant cosinus, sinus et exponentielle, est la suivante :
e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)
On en déduit la formule suivante, qui met en relation, e, i, π et -1, en prenant x = π dans l’équation au-dessus
e^{i\pi} = -1
Formules inclassables mais bien utiles
Voici quelques autres formules inclassables mais bien utiles, et donc à retenir.
\begin{array}{l} \dfrac{1}{a+ib} = \dfrac{a-ib}{a^2+b^2}\\ \\ \bar{\bar{z}} = z\\\\ \end{array}
De plus, il faut savoir que l’équation zn = 1 a n solutions. Ces solutions sont appelées racines nièmes de l’unité. Leurs valeurs sont
e^{i \frac{2k\pi}{n}}, \ k \in \{0,\ldots,n-1\}
Il faut aussi savoir que la formule du binôme de Newton s’applique aussi pour les nombres complexes.
Et retrouver nos 5 derniers articles sur le même thème :
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- Formulaire : Les sommes usuelles
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La notation racine carré d’un nombre négatif n’existe pas.
La formule, bien qu’intuitive est donc fausse
Bien cordialement
Bonjour,
Elle n’existe pas dans R, mais dans C si