Dans cet article, nous allons vous présenter 2 concepts : la transformation d’Abel et le critère d’Abel. Ces 2 éléments sont liés, c’est pour cela que nous les regroupons en un seul article.
Transformation d’Abel
Soient (a_n) et (b_n) deux suites. On note B_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n b_k . La transformation d’Abel est la formule suivante :
\forall N \in \N,\sum_{n=0}^Na_nb_n = \sum_{n=0}^{N-1} (a_n-a_{n+1})B_n + a_NB_NDémonstration :
\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{n=0}^Na_nb_n &=\displaystyle a_0b_0 + \sum_{n=1}^N a_n(B_n-B_{n-1})\\
&=\displaystyle a_0b_0 + \sum_{n=1}^N a_nB_n- \sum_{n=1}^N a_nB_{n-1}\\
&=\displaystyle a_0b_0 + \sum_{n=1}^N a_nB_n- \sum_{n=0}^{N-1} a_{n+1}B_{n}\\
&=\displaystyle a_0b_0 +a_NB_N - a_1B_0+\sum_{n=1}^{N-1} a_nB_n- \sum_{n=1}^{N-1} a_{n+1}B_{n}\\
&=\displaystyle (a_0-a_1)b_0 +a_NB_N +\sum_{n=1}^{N-1} (a_n-a_{n+1})B_n\\
&=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} (a_n-a_{n+1})B_n + a_NB_N
\end{array}Critère d’Abel
Soient (a_n)_{n \in \N} et (b_n)_{n \in \N} deux suites. On note B_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n b_k . On suppose que :
- La suite (a_n)_{n \in \N} est réelle, décroissante de limite nulle
- La suite (B_n)_{n \in \N} est bornée
Alors \displaystyle \sum a_n b_n converge
Démonstration : On utilise une transformation d’Abel :
\sum_{n=0}^Na_nb_n = \sum_{n=0}^{N-1} (a_n-a_{n+1})B_n + a_NB_NOn a :
- \displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_N = 0. Or \exists M \in \R, \forall N \in \N, |B_N | < M. Donc, par comparaison \displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_NB_N = 0
- De même, on a |(a_n-a_{n+1})B_n| \leq (a_n - a_{n+1})M . Or par dualité série-suite, la série \displaystyle \sum a_n - a_{n+1} est de même nature que la suite (a_n)_{n \in \N}. Donc \displaystyle \sum (a_n - a_{n+1})M converge. Par comparaison de séries à termes positifs, \displaystyle \sum (a_n - a_{n+1})B_n converge.
Ainsi, \displaystyle \sum a_n b_n converge.
Exercice corrigé
Enoncé : Soit \theta \in \R \backslash \{2 k\pi, k \in \Z\} . Etudier la convergence de \displaystyle \sum_{ n \geq 1 } \dfrac{\cos(n\theta)}{n}.
Corrigé : Tout d’abord, on remarque que la suite définie par u_n = \dfrac{1}{n} est une suite réelle décroissante vers 0.
De plus, on a
\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{ k=1 }^n \cos(k\theta) &= \displaystyle \sum_{ k= 1 }^n \Re (e^{ik\theta})\\
&= \displaystyle \Re \left(\sum_{ k= 1 }^n e^{ik\theta}\right)\\
&= \displaystyle \Re \left(\sum_{ k=1 }^n \left(e^{i\theta}\right)^k\right)\\
&= \displaystyle \Re \left(\dfrac{1- e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}\right)\\
&= \displaystyle \Re \left(\dfrac{e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}}\dfrac{e^{-i\frac{(n+1)\theta}{2}}- e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}}}{e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}}\right)\\
&= \displaystyle \Re \left(e^{i\frac{n\theta}{2}}\dfrac{e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}}- e^{-i\frac{(n+1)\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}}\right)\\
&= \displaystyle \Re \left(e^{i\frac{n\theta}{2}}\dfrac{e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}}- e^{-i\frac{(n+1)\theta}{2}}}{2i}\dfrac{2i}{e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}}\right)\\
&= \displaystyle \Re \left(e^{i\frac{n\theta}{2}}\dfrac{\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)\\
&= \displaystyle \cos\left(\frac{n\theta}{2}\right)\dfrac{\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}\\
\end{array}Or,
\cos\left(\frac{n\theta}{2}\right)\dfrac{\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} \leq \dfrac{1}{\sin \left(\frac{\theta}{2}\right)}Donc \displaystyle \sum_{ k=1 }^n \cos(n\theta) est majorée. De par ces deux éléments, on peut conclure grâce au critère d’Abel que \displaystyle \sum_{ n \geq 1 } \dfrac{\cos(n\theta)}{n} converge.
