Valeurs d’adhérence : Cours et exercice corrigé

La notion de valeur d’adhérence devient omniprésente dès la deuxième année de mathématiques dans le supérieur, mais peu développée durant la première. Cet article propose un exercice de transition sur ce thème. De plus, il introduit la notion d’ensemble fermé, centrale en topologie.

Définitions et rappels :

Rappel : Un élément l est dit valeur d’adhérence d’une suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} si il existe une extractrice \varphi telle que :

\lim_{n \to \infty} u_{\varphi(n)} = l

Définition : Un sous-ensemble F de E un espace normé est dit fermé si toute suite convergente de F possède sa limite dans F .

Exemples :
F := ]0;1] n’est pas un fermé de \mathbb{R}, car la suite (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}} est à valeurs dans F , mais converge vers 0 \notin F .
Par contre, G := [0;1] est un fermé de \mathbb{R}, car si l’on se donne une suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} à valeurs dans G qui converge vers l , on a :

\forall n \in \mathbb{N} : 0 \leq u_n \leq 1

Donc en passant à la limite, il vient :

0 \leq l\leq 1

Autrement dit, l \in G , donc toute suite convergente de G a sa limite dans G , qui est donc fermé !

Remarque : La notion de convergence dépendant de la norme dont l’espace est muni. Il faudrait préciser avec quelle norme on travaille. Cependant, dans ce qui suit, la norme choisie n’a aucune importance (la preuve est laissée au lecteur), on se passe donc d’en fixer une.

Exercice :

Énoncé : On se donne (u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite réelle. On considère L := \{\text{Ensemble des valeurs d'adhérence de } u \}

1. Montrer que L est fermé.
2. Montrer que sous l’hypothèse \displaystyle \lim_{n \to \infty} (u_{n+1} - u_n) = 0 , L est un intervalle.

Corrigé :
Si L est vide ou réduit à un singleton, les deux propriétés demandées sont immédiates. Dans la suite, on suppose que L contient au moins deux éléments.
1) Formellement, on doit montrer qu’une limite de valeurs d’adhérence est encore une valeur d’adhérence. Pour cela, on utilise la caractérisation suivante : l est une valeur d’adhérence ssi

\forall \epsilon > 0,\forall M \in \mathbb{N}, \exist n_0 \geq M, |u_{n_0} - l| \leq \epsilon

Cela s’interprète comme le fait que, peut importe la précision \epsilon , et le rang M à partir duquel on regarde, on peut toujours trouver au moins un élément de la suite suffisamment proche de l .
On se donne donc (l_n)_{n \in \mathbb{N}} \in L^\mathbb{N} telle que \displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n = l . Soient \epsilon > 0, M \in \mathbb{N} . D’une part, par convergence de (l_n)_{n \in \mathbb{N}}, on a que :

\exist n_1 \geq M , |l_{n_1} - l| \leq \frac{\epsilon}{2}

Et comme l_{n_1} est une valeur d’adhérence, on a aussi à partir de la caractérisation précédente que :

\exist n_0 \geq M, |u_{n_0} - l_{n_1}| \leq \frac{\epsilon}{2}

Finalement, en sommant les deux inégalité, on a qu’il existe n_0 \geq M tel que :

|u_{n_0}-l| \leq |u_{n_0} - l_{n_1}| + |l_{n_1} - l| \leq \epsilon

Ainsi l est bien une valeur d’adhérence, et L est donc fermé !
2) Pour aborder cette question, il est fortement recommandé de faire un dessin. Pour montrer que L est un intervalle, on va se donner l_1,l_2 \in L avec l_1 < l_2 , et montrer que si l_1 < l < l_2 , alors l \in L . L’idée de la preuve est la suivante : la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} s’accumule autour de l_1 et l_2, et doit donc ‘traverser’ le segment entre ces deux valeurs d’adhérence. Mais la différence entre deux termes consécutifs tendant vers 0, un terme tombera forcément ‘proche’ de l.
On se donne donc l_1 < l < l_2, \epsilon > 0 et M > 0. Par hypothèse, on a que :

\exist n_0 \geq M, \forall n \geq n_0,|u_{n+1} - u_n| \leq \epsilon

Ensuite, l_1 et l_2 étant des valeurs d’adhérence, il vient que :

\exist n_1 \geq n_0, |u_{n_1} - l_1| \leq \epsilon

et

\exist n_2 \geq n_1, |u_{n_2} - l_2 | \leq \epsilon

Alors, si |u_{n_1} - l| \leq \epsilon , ou que |u_{n_2} - l| \leq \epsilon , c’est terminé. Sinon, (on suppose donc que ce n’est pas le cas), on considère i \in \{n_1 \leq n \leq n_2, u_n \leq l \leq u_{n+1} \} qui est alors non vide. Si par l’absurde l - u_i > \epsilon et u_{i+1} - l > \epsilon alors | u_{i+1} - u_i | \geq 2\epsilon, ce qui est une contradiction. Donc l - u_i \leq \epsilon ou u_{i+1} - l \leq \epsilon, et on a bien trouvé un indice j \geq M tel que |u_{j} - l| \leq \epsilon .
Donc l est bien une valeur d’adhérence de (u_n)_{n \in \mathbb{N}} et L est un intervalle.