Cet article a pour but d’expliquer une méthode systématique pour résoudre les suites homographiques. Ce terme ne vous dit rien ? Alors vous êtes au bon endroit ! Cette notion est abordable en fin de lycée ou en début de prépa.
Prérequis
Définition
Une suite homographique est une suite récurrente avec u0 donné et de la forme :
\forall n \in \N, u_{n+1} = \dfrac{au_n+b}{cu_n+d}Avec :
- ad – bc ≠ 0 : Dans le cas contraire c’est une suite constante
- c ≠ 0 : Dans le cas contraire, c’est une suite arithmético-géométrique
Résolution et formule
Voici comment résoudre les suites homographiques.
On recherche un point fixe. C’est à dire qu’on fait l’hypothèse que
\forall n \in \N, u_n = l
Donc on va résoudre l’équation
l = \dfrac{al+b}{cl+d}Ce qui nous donne :
\begin{array}{ll}
&l (cl+d) = al+b\\
\iff & cl^2 +dl = al+b \\
\iff &cl^2+dl-al-b=0 \\
\iff & cl^2 + (d-a)l+b = 0
\end{array}Premier cas : L’équation a 2 racines
Notons α et β les deux racines. Si u0 = α (ou β) alors la suite est constante (vocabulaire : on dit aussi stationnaire). Sinon, on pose la suite auxiliaire
v_n = \dfrac{u_n-\beta}{u_n - \alpha}On peut démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison
q = \dfrac{c \alpha+d}{c \beta+d}Ensuite :
- Si |q| < 1 alors la suite (un) est convergente de limite β
- Si |q| > 1 alors la suite (un) est convergente de limite α
- Si q = 1 ou q = – 1 alors la suite (un) est divergente
On peut aussi exprimer la suite (un) en fonction de n grâce au cours sur les suites géométriques. On obtient donc :
\begin{array}{l}
v_n = q^n v_0\\
v_n = q^n\dfrac{u_0-\alpha}{u_0 - \beta} \\
\end{array}Puis en inversant la relation qui relie un et vn, on obtient (un) en fonction de n :
\begin{array}{rl}
v_n &= \dfrac{u_n-\alpha}{u_n - \beta}\\
(u_n-\beta)v_n &= u_n - \alpha\\
u_n v_n - u_n &= \beta v_n - \alpha\\
u_n (v_n-1) &= \beta v_n - \alpha\\
u_n &= \dfrac{\beta v_n - \alpha}{v_n-1}\\
\end{array}Et puis comme on connait vn en fonction de n, on peut l’écrire en fonction de n et u0
Second cas : L’équation a 1 racine double
Notons α la racine. Si u0 = α alors la suite est constante. Sinon, on pose la suite auxiliaire
v_n = \dfrac{1}{u_n - \alpha}On peut démontrer que la suite (vn) est une suite arithmétique de raison
k = \dfrac{2c}{a+d}Ensuite, on a, par relation sur les suites arithmétiques :
v_n = v_0 + nk
On peut ensuite exprimer (un) en fonction de n :
\begin{array}{rl}
\iff&v_n = \dfrac{1}{u_n - \alpha}\\
\iff& u_n -\alpha = \dfrac{1}{v_n}\\
\iff &u_n =\alpha + \dfrac{1}{v_n}\\
\iff& u_n =\alpha + \dfrac{1}{v_0+nk}\\
\end{array}On peut facilement en déduire la limite de (un) :
\lim_{n \to + \infty} u_n =\lim_{n \to + \infty}\alpha + \dfrac{1}{v_0+nk} = \alphaExercice corrigé
Exercice corrigé dans le cas d’une racine double
Soit la suite homographique suivante :
\left\{ \begin{array}{l}
u_0 = 0 \\
\forall n \in \N, u_{n+1}=\dfrac{2u_n -1}{u_n+4}
\end{array} \right.Exprimer un en fonction de n.
Résolution : On cherche d’abord un point fixe :
\begin{array}{ll}
&l = \dfrac{2l -1}{l+4}\\
\iff &l (l+4)= 2l -1\\
\iff & l^2 + 4l = 2l-1\\
\iff & l^2 +2l + 1 = 0\\
\iff & (l+ 1)^2 = 0
\end{array}On a donc 1 racine double qui est -1, on va donc poser :
\forall n \in \N, v_n = \dfrac{1}{u_n + 1}vn est alors une suite arithmétique de raison
k = \dfrac{1}{3}On a donc :
v_n = v_0+\dfrac{n}{3}= 1+ \dfrac{n}{3}Et finalement, on obtient un :
\begin{array}{l}
u_n = -1+\dfrac{1}{v_n} \\
u_n= -1+\dfrac{1}{1+ \dfrac{n}{3}}\\
u_n= -1+\dfrac{3}{3+ n}
\end{array}Et pour résoudre les suites homographiques dans le cas d’une racine double, c’est toujours cette méthode ! Il faut juste faire attention que ce n’est pas juste une suite géométrique ou une suite arithmético-géométrique.
Exercice corrigé dans le cas de 2 racines simples
Soit la suite homographique suivante :
\left\{ \begin{array}{l}
u_0 = 0 \\
\forall n \in \N, u_{n+1}=\dfrac{3u_n +2}{u_n+4}
\end{array} \right.Exprimer un en fonction de n.
Résolution : On cherche d’abord un point fixe :
\begin{array}{ll}
& l = \dfrac{3l+2}{l+4}\\
\iff & l (l+4)= 3l+2\\
\iff & l^2+4l= 3l+2\\
\iff & l^2 +l -2 = 0\\
\iff & (l-1)(l+2) = 0
\end{array}On a donc 1 et -2 en racines, ce qui fait qu’on va poser
\forall n \in \N, v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}vn est alors une suite géométrique de raison
q = \dfrac{1\times (-2) + 4}{1 \times 1+4} = \dfrac{2}{5}On a donc :
v_n = \left(\dfrac{2}{5}\right)^n v_0 = - \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{2}{5}\right)^nEt finalement, on obtient un :
\begin{array}{ll}
&v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2} \\
\iff & v_n(u_n+2)= u_n-1\\
\iff & u_nv_n-u_n= -2v_n - 1\\
\iff & u_n(v_n-1)= -2v_n - 1\\
\iff & u_n= \dfrac{-2v_n - 1}{v_n-1}\\
\iff & u_n= \dfrac{-2\left(- \dfrac{1}{2}\right) \left(\dfrac{2}{5}\right)^n - 1}{- \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n-1}\\
\iff & u_n= \dfrac{ \left(\dfrac{2}{5}\right)^n - 1}{- \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n-1}\\
\iff & u_n= \dfrac{ 2^n-5^n}{-2^{n-1}-5^n}\\
\end{array}Ce qui conclut cette résolution de suite homographique !
Exercices
Exercice 1
On considère la suite (un) définie par
\left\{ \begin{array}{l}
u_0 = 3 \\
\forall n \in \N, u_{n+1}=\dfrac{2}{1+u_n}
\end{array} \right.Déterminer un en fonction de n.
Exercice 2
On considère la suite (un) définie par
\left\{ \begin{array}{l}
u_0 =\dfrac{1}{2} \\
\forall n \in \N, u_{n+1}=\dfrac{5u_n+3}{u_n+4}
\end{array} \right.Déterminer un en fonction de n.
Exercice 3
On considère la suite (un) définie par
\left\{ \begin{array}{l}
u_0 =2 \\
\forall n \in \N, u_{n+1}=\dfrac{6u_n+5}{u_n+5}
\end{array} \right.Déterminer un en fonction de n.
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