Les suites homographiques : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur les suites homographiques : Définition, Résolution et Exercices corrigés.

10 juillet 2022

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Cet article a pour but d’expliquer une méthode systématique pour résoudre les suites homographiques. Ce terme ne vous dit rien ? Alors vous êtes au bon endroit ! Cette notion est abordable en fin de lycée ou en début de prépa.

Table des matières

Prérequis

Définition

Une suite homographique est une suite récurrente avec u₀ donné et de la forme :

\forall n \in \N, u_{n+1} = \dfrac{au_n+b}{cu_n+d}

Avec :

ad – bc ≠ 0 : Dans le cas contraire c’est une suite constante

c ≠ 0 : Dans le cas contraire, c’est une suite arithmético-géométrique

Résolution et formule

Voici comment résoudre les suites homographiques.

On recherche un point fixe. C’est à dire qu’on fait l’hypothèse que

\forall n \in \N, u_n = l

Donc on va résoudre l’équation

l = \dfrac{al+b}{cl+d}

Ce qui nous donne :

\begin{array}{ll} &l (cl+d) = al+b\\ \iff & cl^2 +dl = al+b \\ \iff &cl^2+dl-al-b=0 \\ \iff & cl^2 + (d-a)l+b = 0 \end{array}

Premier cas : L’équation a 2 racines

Notons α et β les deux racines. Si u₀ = α (ou β) alors la suite est constante (vocabulaire : on dit aussi stationnaire). Sinon, on pose la suite auxiliaire

v_n = \dfrac{u_n-\beta}{u_n - \alpha}

On peut démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison

q = \dfrac{c \alpha+d}{c \beta+d}

Ensuite :

Si |q| < 1 alors la suite (u_n) est convergente de limite β

Si |q| > 1 alors la suite (u_n) est convergente de limite α
Si q = 1 ou q = – 1 alors la suite (u_n) est divergente

On peut aussi exprimer la suite (u_n) en fonction de n grâce au cours sur les suites géométriques. On obtient donc :

\begin{array}{l} v_n = q^n v_0\\ v_n = q^n\dfrac{u_0-\alpha}{u_0 - \beta} \\ \end{array}

Puis en inversant la relation qui relie u_n et v_n, on obtient (u_n) en fonction de n :

\begin{array}{rl} v_n &= \dfrac{u_n-\alpha}{u_n - \beta}\\ (u_n-\beta)v_n &= u_n - \alpha\\ u_n v_n - u_n &= \beta v_n - \alpha\\ u_n (v_n-1) &= \beta v_n - \alpha\\ u_n &= \dfrac{\beta v_n - \alpha}{v_n-1}\\ \end{array}

Et puis comme on connait v_n en fonction de n, on peut l’écrire en fonction de n et u₀

Second cas : L’équation a 1 racine double

Notons α la racine. Si u₀ = α alors la suite est constante. Sinon, on pose la suite auxiliaire

v_n = \dfrac{1}{u_n - \alpha}

On peut démontrer que la suite (v_n) est une suite arithmétique de raison

k = \dfrac{2c}{a+d}

Ensuite, on a, par relation sur les suites arithmétiques :

v_n = v_0 + nk

On peut ensuite exprimer (u_n) en fonction de n :

\begin{array}{rl} \iff&v_n = \dfrac{1}{u_n - \alpha}\\ \iff& u_n -\alpha = \dfrac{1}{v_n}\\ \iff &u_n =\alpha + \dfrac{1}{v_n}\\ \iff& u_n =\alpha + \dfrac{1}{v_0+nk}\\ \end{array}

On peut facilement en déduire la limite de (u_n) :

\lim_{n \to + \infty} u_n =\lim_{n \to + \infty}\alpha + \dfrac{1}{v_0+nk} = \alpha

Exercice corrigé

Exercice corrigé dans le cas d’une racine double

Soit la suite homographique suivante :

\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 0 \\ \forall n \in \N, u_{n+1}=\dfrac{2u_n -1}{u_n+4} \end{array} \right.

Exprimer u_n en fonction de n.

Résolution : On cherche d’abord un point fixe :

\begin{array}{ll} &l = \dfrac{2l -1}{l+4}\\ \iff &l (l+4)= 2l -1\\ \iff & l^2 + 4l = 2l-1\\ \iff & l^2 +2l + 1 = 0\\ \iff & (l+ 1)^2 = 0 \end{array}

On a donc 1 racine double qui est -1, on va donc poser :

\forall n \in \N, v_n = \dfrac{1}{u_n + 1}

v_n est alors une suite arithmétique de raison

k = \dfrac{1}{3}

On a donc :

v_n = v_0+\dfrac{n}{3}= 1+ \dfrac{n}{3}

Et finalement, on obtient u_n:

\begin{array}{l} u_n = -1+\dfrac{1}{v_n} \\ u_n= -1+\dfrac{1}{1+ \dfrac{n}{3}}\\ u_n= -1+\dfrac{3}{3+ n} \end{array}

Et pour résoudre les suites homographiques dans le cas d’une racine double, c’est toujours cette méthode ! Il faut juste faire attention que ce n’est pas juste une suite géométrique ou une suite arithmético-géométrique.