Limites de suites : Cours et exercices corrigés

Comment définir la limite d’une suite ? Quelles sont les propriétés principales ? Dans cet article nous définissons tout cela !
Limites de suites

Dans cet article, nous allons vous donner tout ce qu’il faut savoir sur les limites de suites avec un cours très détaillé et des exercices corrigés pour être au top là-dessus

Cours sur les limites de suites

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite réelle et l\in \R . (u_n)_{n\in \mathbb{N}} admet pour limite l si

\forall \varepsilon >0 , \exists N \in \N, \forall n \geq N, |u_n - l | \leq \varepsilon

Si la limite est +\infty, on a la définition suivante :

\forall M >0 , \exists N \in \N, \forall n \geq N, u_n \geq M

Théorème de la limite monotone

Soit (u_n)_{n \in \N} une suite réelle. On a :

  • Si (u_n)_{n \in \N} est croissante majorée alors (u_n)_{n \in \N} converge
  • Si (u_n)_{n \in \N} est décroissante minorée alors (u_n)_{n \in \N} converge

Théorème des suites adjacentes

Soient (u_n)_{n \in \N} et (v_n)_{n \in \N} deux suites réelles. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

  • (u_n)_{n \in \N} est croissante et (v_n)_{n \in \N} est décroissante (ou dans l’autre sens)
  • \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n - v_n = 0

Alors (u_n)_{n \in \N} et (v_n)_{n \in \N} convergent vers la même limite

Théorème des gendarmes

Soient (u_n)_{n \in \N}, (v_n)_{n \in \N}, (w_n)_{n \in \N} 3 suites telles qu’à partir d’un certain rang N, on ait u_n \leq v_n \leq w_n. On suppose que \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \lim_{n \to + \infty} w_n= l . Alors on a nécessairement \displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = l

Suites géométriques

Si (u_n)_{n \in \N} est de la forme u_n = q^n , q \in \R :

  • Si q > 1 alors \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty
  • Aussi, si q = 1 alors \lim_{n \to +\infty} q^n = 1
  • Si -1 < q < 1 alors \lim_{n \to +\infty} q^n = 0
  • Finalement, si Si q \leq - 1 alors la suite diverge et n’a pas de limite.

Propriétés des limites de suites

Les propriétés suivantes sont essentielles sur les limites :

  • Unicité de la limite : Si l et l’ sont les limites d’une suite (u_n) alors l = l'
  • Somme : si on a \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = l et \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} v_n = l' alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n+v_n = l +l'
  • Multiplication par une constante : si on a \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = l et C \in \R alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} Cu_n = C l
  • Produit de deux suites : si on a \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = l et \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} v_n = l' alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_nv_n = ll'
  • Limite de l’inverse : si on a \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = l \neq 0 alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{1}{l}

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n)_{n \in \N} définie par

u_n = \dfrac{n-2}{n^2+3}

Corrigé

La forme est indéterminée. On va d’abord factoriser pour rendre la conclusion plus facile :

u_n = \dfrac{n-2}{n^2+3}  = \dfrac{n(1-\frac{2}{n})}{n^2(1+\frac{3}{n^2})}= \dfrac{1-\frac{2}{n}}{n(1+\frac{3}{n^2})}

Or \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} 1 - \dfrac{2}{n}=\lim_{ n \to + \infty} 1 + \dfrac{3}{n^2}= 1 et \displaystyle \lim_{ n \to + \infty}\dfrac{1}{n} = 0. On a alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = 0

Exercice 2

Enoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n)_{n \in \N^*} définie par

u_n = \dfrac{\sin(n)}{n^2}

Corrigé

On va utiliser ici le théorème des gendarmes. On a pour tout n entier : -1 \leq \sin(n) \leq 1 . Ainsi, pour tout n entier : - \dfrac{1}{n^2} \leq \dfrac{\sin(n)}{n^2} \leq \dfrac{1}{n^2} .

Or, \displaystyle \lim_{n \to + \infty} -\dfrac{1}{n^2} = \lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n^2} = 0 ce qui nous permet de conclure grâce au théorème des gendarmes \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 0

Exercice 3

Enoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n)_{n \in \N^*} définie par

u_n = \sum_{k=0}^n \left( \dfrac{2}{3} \right)^k 

Corrigé

Cette suite est la somme des termes d’une suite géométrique. D’après le cours on obtient donc :

u_n = \dfrac{1- \left(\frac{2}{3} \right)^{n+1}}{1- \frac{2}{3}} =3\left(1- \left(\frac{2}{3} \right)^{n+1}\right)

Or, \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left( \dfrac{2}{3}\right)^{n+1} = 0 . D’où \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 3

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