Dans cet article, nous allons vous donner tout ce qu’il faut savoir sur les limites de suites avec un cours très détaillé et des exercices corrigés pour être au top là-dessus
Cours sur les limites de suites
Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite réelle et l\in \R . (u_n)_{n\in \mathbb{N}} admet pour limite l si
\forall \varepsilon >0 , \exists N \in \N, \forall n \geq N, |u_n - l | \leq \varepsilon
Si la limite est +\infty, on a la définition suivante :
\forall M >0 , \exists N \in \N, \forall n \geq N, u_n \geq M
Théorème de la limite monotone
Soit (u_n)_{n \in \N} une suite réelle. On a :
- Si (u_n)_{n \in \N} est croissante majorée alors (u_n)_{n \in \N} converge
- Si (u_n)_{n \in \N} est décroissante minorée alors (u_n)_{n \in \N} converge
Théorème des suites adjacentes
Soient (u_n)_{n \in \N} et (v_n)_{n \in \N} deux suites réelles. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- (u_n)_{n \in \N} est croissante et (v_n)_{n \in \N} est décroissante (ou dans l’autre sens)
- \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n - v_n = 0
Alors (u_n)_{n \in \N} et (v_n)_{n \in \N} convergent vers la même limite
Théorème des gendarmes
Soient (u_n)_{n \in \N}, (v_n)_{n \in \N}, (w_n)_{n \in \N} 3 suites telles qu’à partir d’un certain rang N, on ait u_n \leq v_n \leq w_n. On suppose que \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \lim_{n \to + \infty} w_n= l . Alors on a nécessairement \displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = l
Suites géométriques
Si (u_n)_{n \in \N} est de la forme u_n = q^n , q \in \R :
- Si q > 1 alors \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty
- Aussi, si q = 1 alors \lim_{n \to +\infty} q^n = 1
- Si -1 < q < 1 alors \lim_{n \to +\infty} q^n = 0
- Finalement, si Si q \leq - 1 alors la suite diverge et n’a pas de limite.
Propriétés des limites de suites
Les propriétés suivantes sont essentielles sur les limites :
- Unicité de la limite : Si l et l’ sont les limites d’une suite (u_n) alors l = l'
- Somme : si on a \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = l et \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} v_n = l' alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n+v_n = l +l'
- Multiplication par une constante : si on a \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = l et C \in \R alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} Cu_n = C l
- Produit de deux suites : si on a \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = l et \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} v_n = l' alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_nv_n = ll'
- Limite de l’inverse : si on a \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = l \neq 0 alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{1}{l}
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé
Déterminer la limite de la suite (u_n)_{n \in \N} définie par
u_n = \dfrac{n-2}{n^2+3}Corrigé
La forme est indéterminée. On va d’abord factoriser pour rendre la conclusion plus facile :
u_n = \dfrac{n-2}{n^2+3} = \dfrac{n(1-\frac{2}{n})}{n^2(1+\frac{3}{n^2})}= \dfrac{1-\frac{2}{n}}{n(1+\frac{3}{n^2})}Or \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} 1 - \dfrac{2}{n}=\lim_{ n \to + \infty} 1 + \dfrac{3}{n^2}= 1 et \displaystyle \lim_{ n \to + \infty}\dfrac{1}{n} = 0. On a alors \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n = 0
Exercice 2
Enoncé
Déterminer la limite de la suite (u_n)_{n \in \N^*} définie par
u_n = \dfrac{\sin(n)}{n^2}Corrigé
On va utiliser ici le théorème des gendarmes. On a pour tout n entier : -1 \leq \sin(n) \leq 1 . Ainsi, pour tout n entier : - \dfrac{1}{n^2} \leq \dfrac{\sin(n)}{n^2} \leq \dfrac{1}{n^2} .
Or, \displaystyle \lim_{n \to + \infty} -\dfrac{1}{n^2} = \lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n^2} = 0 ce qui nous permet de conclure grâce au théorème des gendarmes \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 0
Exercice 3
Enoncé
Déterminer la limite de la suite (u_n)_{n \in \N^*} définie par
u_n = \sum_{k=0}^n \left( \dfrac{2}{3} \right)^k Corrigé
Cette suite est la somme des termes d’une suite géométrique. D’après le cours on obtient donc :
u_n = \dfrac{1- \left(\frac{2}{3} \right)^{n+1}}{1- \frac{2}{3}} =3\left(1- \left(\frac{2}{3} \right)^{n+1}\right)Or, \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left( \dfrac{2}{3}\right)^{n+1} = 0 . D’où \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 3
