Exercice corrigé : Lemme d’Hadamard

Voici l’énoncé d’un exercice qui va démontrer le lemme d’Hadamard, un exercice assez classique. On parle dans cet exercice de matrice à diagonale dominante, dont on va démontrer diverses propriétés. C’est une famille de matrices classiques. Des connaissances en matrice sont nécessaires. C’est un exercice accessible en première année dans le supérieur

Et voici l’énoncé :

Enoncé

Corrigé

Matrice à diagonale dominante

Une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Autrement dit, si

A = (a_{i,j})_{(i,j)\in \{ 1 , \ldots,n \}^2}

On a alors

\forall i \in \{1, \ldots,n \}, |a_{i,i}| \geq \sum_{j=1, j \neq i }^n |a_{i,j}|

De plus, sous les mêmes conditions, une matrice A est dite à diagonale strictement dominante si et seulement si :

\forall i \in \{1, \ldots,n \}, |a_{i,i}| > \sum_{j=1, j \neq i }^n |a_{i,j}|

Exemples

La matrice

A = \begin{pmatrix}
4 &2 &2\\
2 & -5 & 2 \\
-1 & 2 & 6 
\end{pmatrix}

est bien à diagonale dominante car

\begin{array}{ll}
|4|& \geq & |2|+|2|\\
|-5|& \geq & |2|+|2|\\
|6|& \geq & |-1|+|2|

\end{array}

Cette matrice n’est pas à diagonale dominante :

B = \begin{pmatrix}
4 &2 &2\\
2 & -5 & 2 \\
-1 & 2 & 0 
\end{pmatrix}

car

|0| < |-1| + |2|

Démonstration du lemme d’Hadamard

Raisonnons par contraposée. On va ainsi supposer que A n’est pas inversible et montrer que A n’est pas à diagonale strictement dominante. Pour ce faire, si A n’est pas inversible, son noyau n’est pas réduit à 0. Il existe donc un vecteur

X = (x_1, \ldots, x_n) 

non nul tel que

AX = 0 

Prenons maintenant un indice i pour lequel le module de x_i est maximal.
Comme AX = 0, on a, en prenant la ligne i :

\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j  =0

On peut donc isoler x_i

x_i a_{ii} = - \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij}x_j 

On a ensuite, en divisant par x_i qui est non nul (car X est un vecteur non nul et on a pris la plus grande valeur en module) et en prenant la valeur absolue :

a_{ii} = \left| \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij}\dfrac{x_j}{x_i}    \right|

Puis, avec l’inégalité triangulaire, on obtient :

a_{ii} \leq \sum_{j=1,j \neq i}^n   \left| a_{ij}\dfrac{x_j}{x_i}    \right| 

Comme,

\left| \dfrac{x_j}{x_i}    \right| \leq 1 

On obtient finalement :

a_{ii} \leq \sum_{j=1,j \neq i}^n   \left| a_{ij}\dfrac{x_j}{x_i}    \right| \leq \sum_{j=1,j \neq i}^n   \left| a_{ij}   \right| 

Conclusion : La matrice n’est pas à diagonale strictement dominante.
On donc bien démontré le lemme d’Hadamard par contraposée.

Pour aller plus loin, mon TIPE sur le Monopoly utilisait des idées similaires :

Et voici une autre piste pour aller plus loin en lien direct avec le lemme d’Hadamard

La correction en vidéo

Et pour ceux qui préfèrent, voici la correction en vidéo !

Cet exercice vous a plu ?