Le théorème des gendarmes (ce nom est parfois à éviter selon les professeurs) ou théorème d’encadrement est un grand classique de calculs de limites de fonctions. Dans cet article, nous allons en voir la définition et faire des exercices corrigés.
Prérequis
Définition
Le théorème des gendarmes est le suivant. Soit x_0 un réel. Soient f,g,h trois fonctions telles que f(x) \leq g(x) \leq h(x) dans un intervalle I contenant x_0.
Soit l tel que l= \displaystyle \lim_{ x \to x_0 } f(x) = \displaystyle \lim_{ x \to x_0 } h(x) . Alors on a \displaystyle \lim_{ x \to x_0 } g(x) = l
Une première extension
On peut remplacer x_0 par + \infty . Si il existe M tel que pour tout x \geq M , on ait f(x) \leq g(x) \leq h(x) et que l= \displaystyle \lim_{ x \to +\infty } f(x) = \displaystyle \lim_{ x \to +\infty } h(x) . Alors on a \displaystyle \lim_{ x \to +\infty} g(x) = l
Une seconde extension
Cette extension est parfois appelée théorème de comparaison.
On suppose que f(x) \leq g(x) . Ainsi, on a :
- Si \displaystyle \lim_{ x \to x_0 } f(x) = + \infty alors \displaystyle \lim_{ x \to x_0 } g(x) = + \infty
- Si \displaystyle \lim_{ x \to x_0 } g(x) = -\infty alors \displaystyle \lim_{ x \to x_0 } f(x) = - \infty
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé
Déterminer \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\sin(x)}{x}
Corrigé
On a
\forall x \in \R, -1 \leq \sin(x) \leq 1
En divisant par x > 0 , on obtient :
-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin(x)}{x} \leq \dfrac{1}{x} Maintenant, on a
\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = \lim_{x \to +\infty} -\dfrac{1}{x} = 0 On peut donc conclure grâce au théorème des gendarmes
\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x} = 0 Exercice 2
Enoncé
Calculer la valeur de la limite suivante
\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x-1}{3x - 4\cos(x) }Corrigé
On a
\forall x \in \R, -1 \leq \cos(x) \leq 1
En multipliant par -4, on obtient simplement
\forall x \in \R, -4 \leq -4\cos(x) \leq 4
Ensuite, on ajoute 3x :
3x - 4 \leq 3x - 4 \cos(x) \leq 3x + 4
Maintenant, on prend l’inverse et on multiplie par 2x-1
\dfrac{2x-1}{3x+4} \leq \dfrac{2x-1}{3x-4\cos(x)} \leq \dfrac{2x-1}{3x-4} On écrit les 2 expression sous une forme plus facile à exploiter pour calculer la limite :
\dfrac{2x-1}{3x+4} = \dfrac{x}{x} \dfrac{2-\frac{1}{x}}{3+\frac{4}{x}}= \dfrac{2-\frac{1}{x}}{3+\frac{4}{x}}Et
\dfrac{2x-1}{3x-4} = \dfrac{x}{x} \dfrac{2-\frac{1}{x}}{3-\frac{4}{x}}= \dfrac{2-\frac{1}{x}}{3-\frac{4}{x}}On a ensuite :
\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2-\frac{1}{x}}{3+\frac{4}{x}} = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{2-\frac{1}{x}}{3-\frac{4}{x}} = \dfrac{2}{3}On peut donc conclure grâce au théorème des gendarmes
\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x-1}{3x - 4\cos(x) } = \dfrac{2}{3}
