Cette page a pour but de présenter l’inégalité triangulaire à l’aide d’une partie cours et d’une partie exercices corrigés.

Définition

Avec des triangles (collège)

Si a, b et c sont les trois côtés d’un triangle alors b+c ≤ a.
On a donc de même, a+b ≤ c et a+c ≤ b.

périmètre triangle

Cette propriété est logique, elle est liée fortement liée à la notion de distance. En effet, pour le dire autrement l’inégalité triangulaire signifie que si on pour aller d’un point A à un point B, si on passe par C alors ce sera plus long. Par exemple, admettons qu’on veuille aller de Paris à Marseille. Si on décide de passer de passer par Toulouse alors le trajet sera plus long. Et si on passe par Lyon ? Alors le trajet ne sera pas forcément plus long. Mais dans tous les cas, il ne sera pas plus court.

Avec la valeur absolue (lycée)

Pour la valeur absolue, l’inégalité triangulaire s’énonce comme suit :

\forall x,y \in \mathbb{R}, |x+y|\leq |x| +|y|

Avec le module (lycée)

Pour les nombres complexes, avec le module, l’inégalité triangulaire s’énonce comme suit :

\forall z,z' \in \mathbb{C}, |z+z'|\leq |z| +|z'|

Avec la norme (supérieur)

Ce dernier cas, qui englobe les deux précédents, on a pour un espace vectoriel normé E et une norme ||.|| :

\forall x,y \in E, \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|

Inégalité triangulaire inversée

De l’inégalité triangulaire découle l’inégalité triangulaire inversée, qui s’énonce comme suite :

  • Pour les réels
\forall x,y \in \mathbb{R}, |x-y|\geq ||x| -|y||
  • Pour les complexes
\forall x,y \in \mathbb{C}, |x-y|\geq ||x| -|y||
  • Dans un espace vectoriel normé
\forall x,y \in E, \|x-y\|\geq \left| \|x\| -\|y\|\right|

Généralisation à n éléments

L’inégalité triangulaire s’applique lorsqu’on a plusieurs éléments :

  • Pour les réels
\forall x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}, \left|\sum_{i=1}^n x_i \right| \leq \sum_{i=1}^n |x_i|
  • Pour les complexes
\forall z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}, \left|\sum_{i=1}^n z_i \right| \leq \sum_{i=1}^n |z_i|
  • Dans un espace vectoriel normé
\forall x_1, \ldots, x_n \in E, \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\| \leq \sum_{i=1}^n \|x_i\|

Démonstration de l’inégalité triangulaire

Démonstration dans le cas réel

On a, d’une part :

|a+b|^2 = (a+b)^2 = a^2+b^2 +2ab

Et, d’autre part

(|a|+|b|)^2 = |a|^2 +|b|^2+2|a||b| = a^2+b^2+2|ab|

Or,

ab \leq |ab|

Donc,

|a+b|^2 \leq (|a|+|b|)^2

Ces 2 quantités sont positives, donc on peut prendre la racine carrée de chaque côté en gardant le signe de l’inégalité :

|a+b|\leq |a|+|b|

Ce qui démontre l’inégalité triangulaire dans le cas de la valeur absolue

Démonstration dans le cas complexe

L’idée de la démonstration est similaire au cas réel : On élève les 2 quantités au carré. On a d’une part :

\begin{array}{ll}
|a+b|^2 &= (a+b) \overline{(a+b)}\\
&= a\overline{a}+a \overline{b}+\overline{a}b+b\overline{b}\\
&= |a|^2+|b|^2+ (a \overline{b} + \overline{a \overline{b}})\\
&=  |a|^2+|b|^2+ 2\Re(a \overline{b})
\end{array}

On a utilisé la formule sur les nombres complexes suivantes :

 \Re(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2}

D’autre part :

(|a|+|b|)^2 = |a|^2+|b|^2+2|ab|

Nous allons maintenant démontrer le lemme suivant :

\Re(z) \leq |z|

Si z = a+ib, on a :

\begin{array}{ll}
\Re(z) &= a\\
& \leq |a| =  \sqrt{a^2} \\
& \leq \sqrt{a^2+b^2} = |z|
\end{array}

Ce qui conclut la démonstration de ce lemme.
On a donc :

2\Re(a \overline{b}) \leq 2 |a\overline{b}|=2 |a||\overline{b}|=2|ab|

Ce qui fait qu’on a :

|a+b|^2 \leq (|a|+|b|)^2

Et donc en prenant la racine de ces 2 termes positifs :

|a+b|\leq |a|+|b|

On a bien démontré l’inégalité triangulaire dans le cas complexe.
Dans le cas d’une norme, l’inégalité triangulaire est un axiome et n’a donc pas besoin d’être démontrée.

Exercices corrigés

Exercice 618

Inégalité de complexes

C’est un exercice purement calculatoire. On va utiliser le fait que :

|a+b| = |-a-b|

Et aussi que

|c| = |-c|

On utilise ensuite la généralisation de l’inégalité triangulaire :

\begin{array}{l}
|1+a|+|a+b|+|b+c|+|c| \\
= |1+a|+|-a-b|+|b+c|+|-c| \\
\geq  |(1+a)+(-a-b)+(b+c)+(-c)|\\
=|1|=1 
\end{array}

Ce qui conclut cet exercice.

Exercice 908

Inégalité triangulaire réels

Dans un premier temps, étudions f définie par

\forall x \in \mathbb{R}_+, f(x) = \dfrac{x}{1+x}

On peut réécrire f sous la forme

f(x) = 1 - \dfrac{1}{1+x}

Ce qui suffit à démontrer que f est croissante. Notons que f(|x|)=g(x).
Maintenant, mettons tout au même dénominateur pour le membre de droite :

\begin{array}{ll}
g(x)+g(y) &=\dfrac{|x|}{1+|x|}+\dfrac{|y|}{1+|y|}\\
&= \dfrac{|x|(1+|y|)+|y|(1+|x|)}{(1+|x|)(1+|y|)}\\
&= \dfrac{|x|+|xy|+|y|+|xy|}{1+|x|+|y|+|xy|}\\
&= \dfrac{|x|+|y|+2|xy|}{1+|x|+|y|+|xy|}\\ 
& \geq  \dfrac{|x|+|y|+|xy|}{1+|x|+|y|+|xy|}\\ 
& = g(|x|+|y|+|xy|)
\end{array}

On a donc :

f(|x|+|y|+|xy|) \leq g(x)+g(y)

Or,

|x+y| \leq |x|+|y|\leq |x|+|y|+|xy|

Donc, par croissance de f :

f(|x+y|) \leq f(|x|+|y|+|xy|)  \leq g(x)+g(y)

A fortiori, f(|x+y|) = g(x+y). Ce qui fait qu’on peut maintenant conclure :

g(x+y) \leq g(x)+g(y)

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