Exercices corrigés : Endomorphismes nilpotents

Les endomorphismes nilpotents sont une famille classique d’endomorphismes dont certaines propriétés sont à connaitre et peuvent se révéler utiles

Définition et propriétés

Définition

Un endomorphisme u est dit nilpotent si et seulement si il existe n tel que u^n = 0. En posant n = \min \{ n \in \N^*, u^n = 0\} , on appelle ce n l’indice de nilpotence.

On définit de manière similaire une matrice nilpotente.

Propriétés

Les endomorphismes nilpotents vérifient les propriétés suivantes :

• Le polynôme caractéristique est égal à X^n. Corollaire : Ses valeurs propres sont réduites à \{0 \} .
• Le polynôme caractéristique est de la forme X^p
• Pour tout sous-espace stable, l’endomorphisme induit est aussi nilpotent

Exercices corrigés

Les exercices présentés ici sont classiques et il peut être intéressant de retenir les résultats obtenus (en sachant les redémontrer bien sûr !)

Exercice 649

Enoncé : On montre quelques propriétés de base de la nilpotence :

Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent

Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)^{k+l-1} et développer cette quantité

\begin{array}{ll}
(A+B)^{k+l-1} &= \displaystyle \sum_{i=0}^{k+l-1} \binom{k+l-1}{i} A^i B^{k+l-1-i}\\
& = \displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k+l-i}{i} A^i B^{k+l-1-i}+\sum_{i=k}^{k+l-1} \binom{k+l-1}{i} A^i B^{k+l-1-i}\\
& = \displaystyle \sum_{i=l}^{k+l-1} \binom{k+l-1}{i} A^{k+l-1-i} B^{i}+\sum_{i=k}^{k+l-1} \binom{k+l-1}{i} A^i B^{k+l-1-i}\\
\end{array}

Pour la dernière ligne, on a fait le changement d’indice i ' = k+l-1-i

Ensuite, on remarque que pour le terme de gauche, les indices sont d’ordre au moins l et pour le terme de droite d’ordre au moins k. Donc, dans le terme de gauche, B^i = 0 et dans le terme de droite, A^i=0 . Ainsi, (A+B)^{k+l-1} = 0 et la matrice est d’indice de nilpotence au plus k+l-1 .

Partie 2 : Nilpotence du produit si les matrices commutent

Rappelons que (résultat classique qui se démontre par récurrence), si A et B commutent alors \forall k \in \N, (AB)^k = A^k B^k .

Ainsi, en prenant n = \min(k,l) , on a (AB)^n = A^n B^n = 0 . Le min suffit car il suffit que l’un des deux termes vale 0, donc on prend le plus petit indice qui convient, ce qui conclut cet exercice.

Exercice 115

Enoncé :

Corrigé : On appelle ceci une racine de matrice. Vous allez voir, la démonstration fait appel à des concepts d’analyse.

Notons n l’ordre de nilpotence de A. On sait que le développement limité de \sqrt{1+x} est

\sqrt{1+x}  = 1+ \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \ldots + (-1)^{n-1} \dfrac{1 \times 3 \times \ldots \times (2n-3)}{2 \times 4 \times \ldots \times 2n}x^n+ o\left(x^n\right)

Ce qui peut se résumer sous la forme \sqrt{1+x} = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k +o(x^n) avec les a_k définis ci-dessus. Par suite, on a :

\left(1+ \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \ldots + (-1)^{n-1} \dfrac{1 \times 3 \times \ldots \times (2n-3)}{2 \times 4 \times \ldots \times 2n}\right)^2= 1+x + o(x^n) 

Il existe alors un polynôme P tel que

\left( \sum_{k=0}^n a_k x^k\right)^2 = 1+x+x^n P(x)

Posons alors B = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k A^k . On peut alors écrire B^2 = I_n + A + A^n P(A) = I_n + A ce qui est le résultat recherché.

Exercice 1200

Enoncé :

Corrigé :

Comme u^{n-1} \neq 0 , il existe x tel que u^{n-1}(x) \neq 0 . Montrons qu’un tel x convient.

Comme la famille est de cardinal n, qui est la dimension de E, il suffit de montrer que la famille est libre. On va donc prendre \lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1} tels que

\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k u^k(x) = 0 

On compose n-1 fois par u pour obtenir :

\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k u^{k+n-1}(x) = 0

A part pour k=0, tous les autres indices dépassent n. On a alors : \lambda_0 u^{n-1}(x) = 0[\katex]. Et comme [katex]u^{n-1}(x) \neq 0[\katex], on en déduit [katex] \lambda_0 = 0 . On se retrouve donc avec la somme qui démarre maintenant à 1 :

\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k u^{k+n-1}(x) = 0

On reproduit la même opération en composant n-2 fois pour en déduire \lambda_1 = 0. Puis, on fait de même en composant n-3 fois, etc. Cela revient à faire une récurrence (laissée au lecteur).

Ainsi, \lambda_0 = \ldots =\lambda_{n-1} = 0 . La famille (x,u(x), \ldots, u^{n-1} (x) ) est donc libre et de cardinal égal à la dimension. C'est donc une base de E . On termine ainsi cet exercices sur les endomorphismes nilpotents.

Exercice 1102

Enoncé :

Corrigé en vidéo :