Disques de Gershgörin et localisation des valeurs propres

Dans toute la suite, A est une matrice quelconque de taille n et à coefficients dans le corps K des réels ou des complexes.
Si vous ne l’avez pas lu, nous vous conseillons d’aller d’abord lire l’article sur Hadamard.

Lemme d’Hadamard

Posons la quantité suivante :

\forall{i}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, R_i=\sum_{1\leq{j}\leq{n}, j\neq{i}} |a_{i,j}|

Alors, le lemme d’Hadamard nous dit que, pour tout i, si le module des coefficients diagonaux est strictement supérieur à cette quantité : A est inversible. Autrement dit,

\forall{i}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |a_{i,i}|>R_i \Rightarrow A\in GL_n(\mathbb{C})

Pour la culture, une matrice vérifiant cette inégalité est dites ” à diagonale strictement dominante “. Et donc le lemme d’Hadamard se traduit comme suit :

Toute matrice à diagonale strictement dominante est inversible.

Maintenant que nous disposons de cet outil puissant, nous pouvons passer à la définition des disques de Gershgörin ainsi qu’à l’énoncé du théorème les concernant, que nous démontrerons.

Semion Gershgörin

Avant de parler de ce qu’il a fait, il est sûrement bon de savoir qui c’est.

Semion Aronovitch Guerchgorine, que l’on orthographie Gershgorin en Allemand, est un mathématicien soviétique d’origine Biélorusse. Il est né en 1901, et est mort à 32 ans en 1933. Il a été professeur à l’Institut de génie mécanique de Leningrad. Pas grand chose de plus à raconter sur lui.

Disques de Gershgörin

Soit K le corps des complexes ou des réels. On appelle i-ème disque de Gershgörin la quantité suivante:

D_i=\{\ x\in K\ |\ \lvert a_{i,i}-x\rvert \leq R_i\ \}

La définition de cette quantité est le point central d’une méthode permettant l’approximation globale des valeurs propres d’une matrice. Cette méthode ne permet toutefois pas d’approximer chaque valeur propre individuellement. Elle permet d’englober l’ensemble des parties pouvant contenir les valeurs propres de la matrice que l’on étudie.

Théorème de Gershgörin (énoncé)

En reprenant les notations introduites ci-dessus, le théorème dit que :

L’ensemble des valeurs propres d’une matrice A est inclus dans la réunion des disques de Gershgörin.

Autrement dit,

\lambda\in{Sp(A)} \Rightarrow \lambda\in\bigcup_{1\leq{i}\leq{n}}D_i

Ou encore,

Sp(A) \subset \bigcup_{1\leq{i}\leq{n}}D_i

Alors,

\lambda\in{Sp(A)} \Rightarrow \exists{i_0}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, \lambda\in{D_{i_0}}

Démonstration 1 (Avec Hadamard)

Prenon une valeur propre de notre matrice A. Alors,

A-\lambda I_n \notin{GL_n(K)}

Alors, d’après le lemme d’Hadamard,

\exists{i_0}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |a_{i_0,i_0}-\lambda|\leq R_i

C’est-à-dire,

\lambda\in\{\ x\in K\ |\ \lvert a_{i_0,i_0}-x\rvert \leq R_i\ \}=D_{i_0}

Donc finalement,

\lambda\in\bigcup_{1\leq{i}\leq{n}}D_i

D’où,

Sp(A) \subset \bigcup_{1\leq{i}\leq{n}}D_i

Démonstration 2 (Sans Hadamard)

Si jamais, par malheur, on ne dispose pas du lemme d’Hadamard, on adapte la démonstration du lemme pour aboutir au résultat voulu.

On prend une valeur propre de notre matrice A. Par définition :

\exists{X}\in(\mathbb{R}^n)^*\ | AX=\lambda X\ \ \ (*)

Comme le vecteur X n’est pas nul :

\exists{i_0}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |x_{i_0}|=\max_{i\in{\llbracket 1,n \rrbracket}}|x_i| >0

On considère la i_0-ème ligne de l’égalité (*), ce qui nous donne :

\sum_{j=1}^n a_{i_0,j}x_j=\lambda x_{i_0}

D’où,

\sum_{j\neq{i_0}} a_{i_0,j}x_j=x_{i_0}(\lambda-a_{i_0,i_0})

Si bien que,

|x_{i_0}|.|\lambda-a_{i_0,i_0}| \leq \sum_{j\neq{i_0}} |a_{i_0,j}|.|x_j| \leq |x_{i_0}|\sum_{j\neq{i_0}} |a_{i_0,j}|

C’est-à-dire,

|\lambda-a_{i_0,i_0}| \leq \sum_{j\neq{i_0}} |a_{i_0,j}|

Car,

x_{i_0}\neq{0}\ \ \ \&\ \ \ \forall{i}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |x_{i_0}|\geq |x_i|

On a donc,

\lambda\in{D_{i_0}}\subset\bigcup_{i=1}^n D_i

CQFD.

Equivalence entre Hadamard et Gershgörin

Les démonstrations se ressemblant beaucoup, certains auront peut-être pressenti une équivalence. Ce qui est vrai.

Implication directe :

On suppose qu’on a une matrice A à diagonale strictement dominante, elle est donc inversible par le lemme d’Hadamard.

Prenons une valeur propre de A. Alors,

0\in Sp(A-\lambda.I_n=B)

Alors,

B \notin GL_n(K)

Ainsi, B n’est pas à diagonale strictement dominante par contraposée du lemme d’Hadamard.

D’où,

\exists{i_0}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |a_{i_0,i_0}-\lambda|\leq R_{i_0}

On a directement le résultat.

Implication réciproque :

Soit A à diagonale strictement dominante. Alors,

0\notin \bigcup_{i=1}^n D_i

D’après le théorème de Greshgörin, 0 n’est donc pas une valeur propre de A.

Ainsi, comme

\det(A)=\prod_{i=1}^r\lambda_i^{m_i}

On a,

\det(A)\neq 0

Si bien que,

A\in GL_n(K)

Lien avec les racines d’un polynôme

Dans le cadre d’une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton, vous avez sûrement vu ce qu’est une matrice compagnon, que l’on notera C dans la suite. Sinon, voir le début de Centrale 1 MP 2019.

Le polynôme caractéristique de cette matrice est :

\chi_C =X^n+\sum_{i=0}^{n-1}c_iX^i

Le théorème de Cayley-Hamilton nous dit que le valeur propre d’une matrice sont les racines de sont polynôme caractéristique.

En appliquant le théorème de Gershgörin à la matrice compagnon, on peut donc avoir un résultat qui donne la localisation des racines d’un polynôme quelconque.