Prélude : la divisibilité

Soient a et b deux entiers. On dit que a est un diviseur de b s’il existe un entier k tel que b = ka. On dit que a divise b. La notation est la suivante :

a |b 

Soit n un entier.
1 est un diviseur de n : n = n x 1
n est un diviseur de n : n = 1 x n

Quelques propriétés :

a | a
a | 0
1 | a
Si a | b alors pour tout entier k a | k x b
Si a | b et a | c alors a | b + c. De plus, a | b – c
Si a | b et a | c alors a | b x c

Définition

Un entier n > 1 est dit premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Voici la liste des nombres premiers entre 1 et 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Par exemple, 9 n’est pas un nombre premier car 3 est un diviseur de 9 (3 x 3 = 9)

Propriété

1 n’est pas un nombre premier
2 est le seul nombre premier pair car tout nombre pair a 2 pour diviseur, 2 n’étant ni 1, ni lui-même.

Tout entier relatif admet un diviseur premier.

La valeur approchée du n-ième nombre premier est d’environ n ln(n) où ln représente le logarithme

Théorème des nombres premiers

Soit n un entier naturel. Il s’écrit d’une manière unique sous la forme de produits de nombres premiers.

\exist ! (p_1,\ldots,p_k) \ premiers, \alpha_1,\ldots, \alpha_k  \in \N\ tels \ que \\
n= p_1^{\alpha_1}\ldots p_k^{\alpha_k}

Cette décomposition unique s’appelle décomposition en facteurs premiers.

Soit n un entier et p un nombre premier. Alors, np – n est un nombre premier. Cette propriété s’appelle le petit théorème de Fermat.

Infinité des nombres premiers

Il existe une infinité de nombres premiers. En voici la preuve faite par Euclide :

\begin{array}{l}Supposons\ qu^{\prime}il\ existe\ un\ nombre\ fini\ de\ nombres\ premiers\ notés\ p_1,\ldots,p_n\ \\
Considérons\ m\ =\ p_1p_2\ldots p_{n\ }\ +\ 1\\
m\ admet\ un \ diviseur \ premier\\
Montrons\ que\ m\ n'a \ pas\ de\ diviseur\ premier \ autre\ que \ lui-même :\\
Si\ p_i|m\\
Comme\ p_i\ \ |\ p_1p_2\ldots p_n,\\
On\ a \ p_i | m-\ p_1p_2\ldots p_n=  1  \\
Comme \ p_i | 1, \\
On\ a \ nécessairement \ p_i = 1\  qui \ n'est\ pas\ un\ nombre\ premier\\
\end{array}

Donc m est un nouveau nombre premier. On a donc contredit l’hypothèse qu’on a seulement n nombres premiers. On a donc une infinité de nombres premiers.

Exemples

Exemple 1 : Décomposer en nombres premiers 720.
Le nombre termine par 0. Il est donc pair.
On a donc : 720 = 360 x 2 = 180 x 22 = 90 x 23 = 45 x 24.
Maintenant regardons s’il est divisible par 3, le nombre premier suivant :
720 = 15 x 3 x 24 = 5 x 32 x 24
On a bien décomposé 720 en facteurs de nombres premiers.
Pour avoir les bons critères de divisibilité, allez voir cet article

Autre méthode (enseignée au collège 5e-6e) :

Avec deux colonnes et une méthode toute simple, on peut trouver les diviseurs d’un nombre. Dans la première colonne écrivons le nombre à diviser, la deuxième va correspondre aux nombres premiers s’ils sont diviseurs. Commençons avec 120. 120 est divisible par 2 car le résultat de la division est un entier (=60) :

Nombre à diviserDiviseurs nombre premier
1202

Comme 120 est divisible par 2, on écrit le résultat = 60 sur une deuxième ligne et on continue d’essayer de diviser par 2.

Nombre à diviserDiviseurs nombre premier
1202
602

60 est aussi divisible par 2, on écrit le résultat = 30 sur une deuxième ligne et on continue d’essayer de diviser par 2. Et ainsi de suite jusqu’à ce que le dernier nombre à diviser soit 1 ! Dès que l’on ne peut plus diviser par 2, il faut essayer de diviser par le nombre premier suivant, qui n’est autre que 3, puis 5, puis 7, etc.

Nombre à diviserDiviseurs nombre premier
1202
602
302
153
55
15

Une fois arrivé à 1, il suffit de lire le tableau pour décomposer le nombre. Le nombre de fois où apparaît 2 est la puissance associée à 2. Donc 120 = 23*31*52

Exemple 2 (difficile) : Donner le nombre de zéros de 100! (il faut d’abord connaitre les factorielles).
Pour avoir un 0, il faut un 5 et un 2 dans la décomposition en facteurs premiers. Or, il y a plus de 2 que de 5.
On va donc compter le nombre de 5 dans la décomposition en nombres premiers.
Entre 1 et 100, 5 divise 20 nombres différents (5, 10, 15, …), ceux là apportent au moins un diviseur de 5. Pour les nombres tels que 25 ou 50, on a 52 dans la décomposition en facteurs premiers. On a 4 nombres comme eux entre 1 et 100 (ceux que 25 divisent).

On a donc :
5 qui divise 20 nombres (apportent un facteur 5)
25 qui divise 4 nombres (apportent un facteur 52)
Ceux qui sont divisibles par 25 le sont aussi par 5. Donc les nombres divisbles par 25 apportent 1 diviseur supplémentaire car on en a déjà compté un dans 5.

Finalement, 5 est présent 24 fois dans la décomposition en facteurs premiers de 100!

Exercices

Exercice 1
Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400, pair et divisible par 13. J’ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je ?

Exercice 2
Les nombres suivants sont-ils premiers ?

  1. 254
  2. 97
  3. 199
  4. 471
  5. 331
  6. 337

Exercice 3
Décomposer les nombres suivants en produits de facteurs premiers

  1. 2520
  2. 335
  3. 741
  4. 546
  5. 840

Exercice 4
Déterminer tous les couples d’entiers naturels (n ; m) tels que

5\times 10^n = 2 \times 50^m

Exercice 5 (un peu plus difficile)
D´éterminer les nombres premiers p tels que p + 2 et p + 4 soient premiers

Retrouvez tous nos articles pour bien réviser le bac

3 Comments

Laisser un commentaire