Tout savoir sur les nombres premiers

Prélude : la divisibilité

Soient a et b deux entiers. On dit que a est un diviseur de b s’il existe un entier k tel que b = ka. On dit que a divise b. La notation est la suivante : a | b

Soit n un entier.
1 est un diviseur de n : n = n x 1
n est un diviseur de n : n = 1 x n

Quelques propriétés

• a | a
• a | 0
• 1 | a
• Si a | b alors pour tout entier ka | kb
• Si a | b et a | c alors a | b + c. De plus, a | b – c
• Si a | b et a | c alors a | b x c

Définition

Un entier n > 1 est dit premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Voici la liste des nombres premiers entre 1 et 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Par exemple, 9 n’est pas un nombre premier car 3 est un diviseur de 9 (3 x 3 = 9)

Propriétés

0 est-il un nombre premier ?

0 n’est pas un nombre premier car il a une infinité de diviseurs. En effet, si n est un entier, alors 0 \times n = 0 . Donc, tous les entiers sont des diviseurs de 0.

1 est-il un nombre premier ?

1 n’est pas un nombre premier. En effet, il n’a qu’un seul diviseur : lui-même. Il ne possède donc pas 2 diviseurs différents.

Autres propriétés

2 est le seul nombre premier pair car tout nombre pair a 2 pour diviseur, 2 n’étant ni 1, ni lui-même.

Tout entier relatif admet un diviseur premier.

La valeur approchée du n-ième nombre premier est d’environ n \ln(n) où ln représente le logarithme

Théorème des nombres premiers

Soit n un entier naturel. Il s’écrit d’une manière unique sous la forme de produits de nombres premiers. \exists ! (p_1,\ldots,p_k), premiers, \alpha_1,\ldots, \alpha_k \in \N tels que n= p_1^{\alpha_1}\ldots p_k^{\alpha_k}

Cette décomposition unique s’appelle décomposition en facteurs premiers.

Petit théorème de Fermat

Soit n un entier et p un nombre premier. Alors, n^p – n est un multiple de p. Cette propriété s’appelle le petit théorème de Fermat.

Infinité des nombres premiers

Il existe une infinité de nombres premiers. En voici la preuve faite par Euclide :
Supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers p_1,\ldots,p_n
Considérons m = p_1p_2\ldots p_{n} + 1
m admet un diviseur premier

Montrons que m n’a pas de diviseur premier autre que lui-même :
Si p_i |m, et comme, p_i | p_1p_2\ldots p_n , on a p_i | m-p_1p_2\ldots p_n= 1.
Comme p_i |1 , on a nécessairement p_i = 1 qui n’est pas un nombre premier

Donc m est un nouveau nombre premier. On a donc contredit l’hypothèse qu’on a seulement n nombres premiers. On a donc une infinité de nombres premiers.

En voici la démonstration en vidéo :

Comment savoir si un nombre est premier ?

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer si un nombre p est premier. Pour en savoir plus, je vous conseille d’aller voir cet article qui détaille parfaitement le fonctionnement :

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Décomposer en nombres premiers 720.

Corrigé : Le nombre termine par 0. Il est donc pair.
On a donc : 720 = 360 x 2 = 180 x 2² = 90 x 2³ = 45 x 2⁴.
Maintenant regardons s’il est divisible par 3, le nombre premier suivant :
720 = 15 x 3 x 2⁴ = 5 x 3² x 2⁴
On a bien décomposé 720 en facteurs de nombres premiers.
Pour avoir les bons critères de divisibilité, allez voir cet article

Autre méthode (enseignée au collège 5e-6e) :

Avec deux colonnes et une méthode toute simple, on peut trouver les diviseurs d’un nombre. Dans la première colonne écrivons le nombre à diviser, la deuxième va correspondre aux nombres premiers s’ils sont diviseurs. Commençons avec 120. 120 est divisible par 2 car le résultat de la division est un entier (=60) :

Comme 120 est divisible par 2, on écrit le résultat = 60 sur une deuxième ligne et on continue d’essayer de diviser par 2.

60 est aussi divisible par 2, on écrit le résultat = 30 sur une deuxième ligne et on continue d’essayer de diviser par 2. Et ainsi de suite jusqu’à ce que le dernier nombre à diviser soit 1 ! Dès que l’on ne peut plus diviser par 2, il faut essayer de diviser par le nombre premier suivant, qui n’est autre que 3, puis 5, puis 7, etc.

Une fois arrivé à 1, il suffit de lire le tableau pour décomposer le nombre. Le nombre de fois où apparaît 2 est la puissance associée à 2. Donc 120 = 2³*3¹*5²

Exercice 2 (difficile)

Enoncé : Donner le nombre de zéros de 100! (il faut d’abord connaitre les factorielles).

Corrigé : Pour avoir un 0, il faut un 5 et un 2 dans la décomposition en facteurs premiers. Or, il y a plus de 2 que de 5.
On va donc compter le nombre de 5 dans la décomposition en nombres premiers.
Entre 1 et 100, 5 divise 20 nombres différents (5, 10, 15, …), ceux là apportent au moins un diviseur de 5. Pour les nombres tels que 25 ou 50, on a 5² dans la décomposition en facteurs premiers. On a 4 nombres comme eux entre 1 et 100 (ceux que 25 divisent).

On a donc :
5 qui divise 20 nombres (apportent un facteur 5)
25 qui divise 4 nombres (apportent un facteur 5²)
Ceux qui sont divisibles par 25 le sont aussi par 5. Donc les nombres divisbles par 25 apportent 1 diviseur supplémentaire car on en a déjà compté un dans 5.

Finalement, 5 est présent 24 fois dans la décomposition en facteurs premiers de 100!

Exercices

Exercice 1

Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400, pair et divisible par 13. J’ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je ?

Exercice 2

Les nombres suivants sont-ils premiers ?

1. 254
2. 97
3. 199
4. 471
5. 331
6. 337

Exercice 3

Décomposer les nombres suivants en produits de facteurs premiers

1. 2520
2. 335
3. 741
4. 546
5. 840

Exercice 4

Déterminer tous les couples d’entiers naturels (n ; m) tels que

5\times 10^n = 2 \times 50^m

Exercice 5 (plus difficile)

Déterminer les nombres premiers p tels que p + 2 et p + 4 soient premiers

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