Voici l’énoncé d’un exercice qui va utiliser les polynômes de Hermite, dont on va démontrer diverses propriétés. C’est une famille de polynômes classiques. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des polynômes. C’est un exercice de deuxième année dans le supérieur.
Et voici l’énoncé :
Enoncé
Un peu de culture
Les 6 premiers polynômes de Hermite sont :
\begin{array}{l|l}
n & H_n(x)\\
\hline
0 & 1\\
1 & x\\
2 & x^2 - 1\\
3 & x^3-3x\\
4 & x^4-6x^2+3\\
5 & x^5 - 10x^3 +15x\\
6 & x^6 - 15x^4 +45x^2-15
\end{array}Notons que le degré de Hn est n.
Corrigé
Question 1
Soit P un polynôme de degré n et Q un polynôme de degré m. On a :
\lim_{x \to \pm \infty} x ^{n+m+2} e^{-\frac{x^2}{2}} = 0 On en déduit facilement donc que :
x ^{n+m} e^{-\frac{x^2}{2}} =_{\pm \infty} o\left( \frac{1}{x^2} \right)Or,
P(x) \sim_{\pm \infty} x^n ,Q(x) \sim_{\pm \infty} x^m,Donc,
P(x)Q(x) e^{-\frac{x^2}{2}} =_{\pm \infty} o\left( \frac{1}{x^2} \right)De plus,
P,Q \in C^0(\R,\R)
Donc l’intégrale est bien définie.
On a, de manière évidente :
\langle P|Q \rangle = \langle Q|P \rangle
De plus, en prenant P1 et P2 2 polynômes et λ un réel, on a :
\begin{array}{ll}
\langle P_1+ \lambda P_2|Q \rangle & =\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} (P_1+ \lambda P_2)(t)Q(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt \\
& =\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} P_1(t)Q(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt +\lambda \int_{-\infty}^{+\infty} P_2(t)Q(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt \\
&= \langle P_1 |Q \rangle +\lambda \langle P_2|Q \rangle
\end{array}Ce qui prouve bien la linéarité à gauche (et donc à droite par symétrie)
On a ensuite :
\langle P|P \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} P^2(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt > 0qui est bien positif par positivité de l’intégrale. De plus,
\langle P|P \rangle= 0 \iff \int_{-\infty}^{+\infty} P^2(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt = 0 Ce qui implique que
P^2(t) e^{- \frac{x^2}{2}}est nulle presque partout car la quantité sous l’intégrale est positive. Comme l’exponentielle est non nulle alors P a une infinité de racines et est donc nul. Donc
\langle .|. \rangle
est bien un produit scalaire.
Question 2 : Orthogonalité
Le second cas est symétrique : on va supposer pour faire cette question que n < m. On va donc avoir :
\begin{array}{ll}
\langle H_n | H_m \rangle &=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x)(-1)^me^{\frac{t^2}{2}}\dfrac{d^m}{dx^m}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\
& =(-1)^m\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x)\dfrac{d^m}{dx^m}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)dt
\end{array}On va alors faire m intégrations par parties : On intègre n fois le membre de droite et on dérive n fois le membre de gauche. Sans écrire tous les calculs, on notera qu’un polynôme multiplié par
e^{-\frac{x^2}{2}} Donnera une limite nulle en ±∞.
On a donc :
\begin{array}{ll}
&(-1)^{m-n}\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} H_n^{(n)}(t) \dfrac{d^{m-n}}{dx^{m-n}}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)dt\\
=&(-1)^{m-n}n!\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{d^{m-n}}{dx^{m-n}}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)dt
\end{array}On a laissé au lecteur la preuve que
\forall t \in \mathbb{R},H_n^{(n)}(t) = n! Qui vaut bien 0 si n<m. On a donc bien :
\langle L_n | L_m \rangle = 0
Question 3
En reprenant les calculs précédents, si n = m, on a :
\langle L_n | L_n \rangle = (-1)^{n-n}n!\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{d^{n-n}}{dx^{n-n}}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)dtQui se simplifie en :
\langle L_n | L_n \rangle = n!\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dtPour calculer cette intégrale, allez voir notre article sur la constante de la Gaussienne. On obtient alors :
\langle L_n | L_n \rangle = n! \sqrt{\pi}Question 4 : Relation de récurrence
On a :
\dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} e^{-\frac{x^2}{2}} = \dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(-x e^{-\frac{x^2}{2}} )Grâce à la formule de Leibniz, on obtient que :
\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(-x e^{-\frac{x^2}{2}} )= -x\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(e^{-\frac{x^2}{2}} ) -n \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )On multiplie ceci par
e^{\frac{x^2}{2}} (-1)^nPour obtenir :
(-1)^ne^{\frac{x^2}{2}} \dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} e^{-\frac{x^2}{2}} =-(-1)^nxe^{-\frac{x^2}{2}} \dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(e^{-\frac{x^2}{2}} ) -(-1)^nn e^{-\frac{x^2}{2}} \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )On peut donc écrire :
-H_{n+1}(x) = - xH_n(x)+nH_{n-1}(x)D’où
H_{n+1}(x) - xH_n(x)+nH_{n-1}(x) = 0Ce qui donne bien la relation de récurrence recherchée !
Question 5 : Equation différentielle
Lemme
Montrons la formule suivante :
H'_n= nH_{n-1}Pour cela, on dérive l’égalité suivante :
H_n(x) = (-1)^ne^{\frac{x^2}{2}}\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )Pour obtenir :
\begin{array}{ll}
H'_n(x) &= (-1)^nxe^{\frac{x^2}{2}}\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )- (-1)^{n+1}e^{\frac{x^2}{2}}\dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )\\
&= xH_n(x) -H_{n+1}(x)\\
\end{array}D’où
H_{n+1} = xH_n -H'_nEn comparant avec le résultat de la question précédente, qui est
H_{n+1} =xH_n -nH_{n-1}On obtient bien :
H'_n= nH_{n-1}On dérive alors
H_{n+1} =xH_n -nH_{n-1}Pour obtenir
H'_{n+1} =xH'_n -nH'_{n-1}En utilisant le lemme, on obtient alors
(n+1)H_n = xH'n- n H''_n
En mettant tout du même côté, on obtient bien :
(n+1)H_n - xH'n+ n H''_n = 0
Ce qui conclut bien cet exercice sur les polynômes de Hermite
Cet exercice vous a plu ?
