Exercice corrigé : Polynômes de Hermite

Voici un exercice corrigé détaillé impliquant les polynômes de Hermite
Charles Hermite

Voici l’énoncé d’un exercice qui va utiliser les polynômes de Hermite, dont on va démontrer diverses propriétés. C’est une famille de polynômes classiques. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des polynômes. C’est un exercice de deuxième année dans le supérieur.

Et voici l’énoncé :

Enoncé

Un peu de culture

Les 6 premiers polynômes de Hermite sont :

\begin{array}{l|l}
n   & H_n(x)\\
\hline 
0 & 1\\
1 & x\\
2 & x^2 - 1\\
3 & x^3-3x\\
4 & x^4-6x^2+3\\
5 & x^5 - 10x^3 +15x\\
6 & x^6 - 15x^4 +45x^2-15
\end{array}

Notons que le degré de Hn est n.

Corrigé

Question 1

Soit P un polynôme de degré n et Q un polynôme de degré m. On a :

\lim_{x \to \pm \infty} x ^{n+m+2} e^{-\frac{x^2}{2}} = 0 

On en déduit facilement donc que :

x ^{n+m} e^{-\frac{x^2}{2}} =_{\pm \infty} o\left( \frac{1}{x^2} \right)

Or,

P(x) \sim_{\pm \infty} x^n ,Q(x) \sim_{\pm \infty} x^m,

Donc,

P(x)Q(x) e^{-\frac{x^2}{2}} =_{\pm \infty} o\left( \frac{1}{x^2} \right)

De plus,

P,Q \in C^0(\R,\R)

Donc l’intégrale est bien définie.
On a, de manière évidente :

\langle P|Q \rangle = \langle Q|P \rangle

De plus, en prenant P1 et P2 2 polynômes et λ un réel, on a :

\begin{array}{ll}
\langle P_1+ \lambda P_2|Q \rangle & =\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}  (P_1+ \lambda P_2)(t)Q(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt \\
& =\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}  P_1(t)Q(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt +\lambda \int_{-\infty}^{+\infty}  P_2(t)Q(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt \\
&= \langle P_1 |Q \rangle +\lambda \langle P_2|Q \rangle 
\end{array}

Ce qui prouve bien la linéarité à gauche (et donc à droite par symétrie)
On a ensuite :

\langle P|P \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} P^2(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt > 0

qui est bien positif par positivité de l’intégrale. De plus,

\langle P|P \rangle= 0 \iff \int_{-\infty}^{+\infty} P^2(t) e^{- \frac{t^2}{2}}dt  = 0 

Ce qui implique que

P^2(t) e^{- \frac{x^2}{2}}

est nulle presque partout car la quantité sous l’intégrale est positive. Comme l’exponentielle est non nulle alors P a une infinité de racines et est donc nul. Donc

\langle .|. \rangle

est bien un produit scalaire.

Question 2 : Orthogonalité

Le second cas est symétrique : on va supposer pour faire cette question que n < m. On va donc avoir :

\begin{array}{ll}
\langle H_n | H_m \rangle &=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}   H_n(x)(-1)^me^{\frac{t^2}{2}}\dfrac{d^m}{dx^m}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\
& =(-1)^m\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}   H_n(x)\dfrac{d^m}{dx^m}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)dt
\end{array}

On va alors faire m intégrations par parties : On intègre n fois le membre de droite et on dérive n fois le membre de gauche. Sans écrire tous les calculs, on notera qu’un polynôme multiplié par

e^{-\frac{x^2}{2}} 

Donnera une limite nulle en ±∞.
On a donc :

\begin{array}{ll}
&(-1)^{m-n}\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} H_n^{(n)}(t)  \dfrac{d^{m-n}}{dx^{m-n}}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)dt\\
=&(-1)^{m-n}n!\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}   \dfrac{d^{m-n}}{dx^{m-n}}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)dt
\end{array}

On a laissé au lecteur la preuve que

\forall t \in \mathbb{R},H_n^{(n)}(t) = n! 

Qui vaut bien 0 si n<m. On a donc bien :

\langle L_n | L_m \rangle  = 0

Question 3

En reprenant les calculs précédents, si n = m, on a :

\langle L_n | L_n \rangle = (-1)^{n-n}n!\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}   \dfrac{d^{n-n}}{dx^{n-n}}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\right)dt

Qui se simplifie en :

\langle L_n | L_n \rangle = n!\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}  e^{-\frac{t^2}{2}}dt

Pour calculer cette intégrale, allez voir notre article sur la constante de la Gaussienne. On obtient alors :

\langle L_n | L_n \rangle  = n! \sqrt{\pi}

Question 4 : Relation de récurrence

On a :

\dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} e^{-\frac{x^2}{2}} = \dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(-x e^{-\frac{x^2}{2}} )

Grâce à la formule de Leibniz, on obtient que :

 \dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(-x e^{-\frac{x^2}{2}} )= -x\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(e^{-\frac{x^2}{2}} ) -n \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )

On multiplie ceci par

e^{\frac{x^2}{2}} (-1)^n

Pour obtenir :

(-1)^ne^{\frac{x^2}{2}} \dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} e^{-\frac{x^2}{2}} =-(-1)^nxe^{-\frac{x^2}{2}} \dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(e^{-\frac{x^2}{2}} ) -(-1)^nn e^{-\frac{x^2}{2}} \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )

On peut donc écrire :

-H_{n+1}(x) = - xH_n(x)+nH_{n-1}(x)

D’où

H_{n+1}(x)  - xH_n(x)+nH_{n-1}(x) = 0

Ce qui donne bien la relation de récurrence recherchée !

Question 5 : Equation différentielle

Lemme

Montrons la formule suivante :

H'_n= nH_{n-1}

Pour cela, on dérive l’égalité suivante :

H_n(x) = (-1)^ne^{\frac{x^2}{2}}\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )

Pour obtenir :

\begin{array}{ll}
H'_n(x) &= (-1)^nxe^{\frac{x^2}{2}}\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )- (-1)^{n+1}e^{\frac{x^2}{2}}\dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}( e^{-\frac{x^2}{2}} )\\
&= xH_n(x) -H_{n+1}(x)\\
\end{array}

D’où

H_{n+1} = xH_n -H'_n

En comparant avec le résultat de la question précédente, qui est

H_{n+1} =xH_n -nH_{n-1}

On obtient bien :

H'_n= nH_{n-1}

On dérive alors

H_{n+1} =xH_n -nH_{n-1}

Pour obtenir

H'_{n+1} =xH'_n -nH'_{n-1}

En utilisant le lemme, on obtient alors

(n+1)H_n = xH'n- n H''_n

En mettant tout du même côté, on obtient bien :

(n+1)H_n - xH'n+ n H''_n = 0

Ce qui conclut bien cet exercice sur les polynômes de Hermite

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