Progresser-en-maths

Maths + Toi = 1

Monopoly
Maths Facts

Comment gagner au Monopoly ?

Dans cet article nous allons voir quelles sont les cases optimales à acheter pour Gagner au Monopoly. Cet article présente la modélisation simplifié et les résultats obtenus. Pour plus de détails, vous pouvez consulter le pdf en bas de page.

La modélisation choisie

Loi de Markov

Soit (Xn) une suite de variables aléatoires muni d’une loi de probabilité fixé. Une chaine de Markov ne dépend que de l’état présent : quelque soti l’état passé, si on connait l’état actuel on peut estimer l’état futur de la chaine à l’aide de probabilité. On peut représenter une chaine de Markov via ce type de graphe.

A chaque arc est associé sa probabilité de transition

Un rappel rapide des règles

Voici quelques règles nécessaires à la modélisation :

  • Le jeu se joue avec 2 dés (les scores vont donc de 2 à 12 avec des probabilités bien connues)
  • Lorsqu’on fait un double, on rejoue.
  • Lorsqu’on fait trois doubles à la suite, on va en prison (la probabilité est de 1/216)
  • Le plateau fait 40 cases
  • Le but du Monopoly est de ruiner ses concurrents par des opérations immobilières

Détail de la modélisation

Par rapport à ces règles, nous avons effectué quelques simplifications dans la modélisation :

  • On ne prend pas en compte les doubles
  • Par compte, on a tenu compte du fait que lorsqu’on va en prison, on fait 3 doubles
  • On a aussi pris en compte les déplacement provoqués par les cartes chance et caisse de communauté
  • La case prison est modélisée par 3 cases : tour 1 en prison = case 1, tour 2 = case 2, ..
  • On a regroupé les résultats par groupe de cases qu’on indique par des couleurs

On va alors chercher la probabilité au bout d’un grand nombre de tours d’être sur une case donnée.

Résultats

Voici les résultats obtenus, avec en ordonnée la probabilité :

Interprétation : La case prison et les cartes chance et caisse de communauté perturbent les résultats. Il vaut mieux donc acheter le groupe orange : Avenue Mozart, Place Pigalle et Boulevard Saint-Michel. Les gares sont aussi intéressantes (la probabilité est plus haute parce qu’elles sont 4). Il peut aussi être très intéressant d’acheter les cases rouge : Avenue Matignon, Boulevard Malesherbes et Avenue Henri-Martin dans le Monopoly classique.

Maintenant, si on pondère par le gain par hôtel (noté g) divisé le prix des hôtels (noté h), on définit une rentabilité par :

\eta = \dfrac{h*p}{h}

Avec p la probabilité de la base en pourcentage. On obtient alors le résultat suivant :

Rentabilité par groupe de cases

Là encore, c’est la couleur orange qui est la plus rentable. Vous savez donc maintenant ce qu’il faut acheter en priorité !

2 COMMENTS

Laisser un commentaire