Dans cet article, nous définirons la comatrice et utiliserons le développement sur une ligne pour établir une formule importante de l’algèbre linéaire.
Prérequis
Tout ce qui est écrit ici a un sens dans un anneau, il sera noté A . Pour commencer, vous pouvez penser à un corps comme \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} .
Matrice extraite
Une matrice extraite de M \in M_n(A) est obtenue en “ignorant” certaines lignes et colonnes de M . Nous noterons M_{\hat{i},\hat{j}} la matrice extraite de M à laquelle on a retiré la i-ème ligne et la j-ème colonne.
Exemple :
M = \begin{pmatrix} 3&1&4\\
1&5&9\\
2&6&5\\\end{pmatrix}
\\
M_{\hat{1},\hat{1}} =\begin{pmatrix}
5&9\\
6&5\\\end{pmatrix}, M_{\hat{2},\hat{3}} =\begin{pmatrix}
3&1\\
2&6\\
\end{pmatrix}Il y a une matrice extraite M_{\hat{i},\hat{j}} pour chaque couple (i,j) qui décrit un coefficient de M.
Les déterminants des matrices extraites M_{\hat{i},\hat{j}} sont appelés les “mineurs” de M . Ils vont nous permettre de définir la comatrice.
Définition de la Comatrice
Prenons M \in M_n(A). La comatrice de M est une autre matrice de M_n(A) , dont le coefficient en (i,j) est plus ou moins le mineur correspondant.
Comat(M)_{i,j } := (-1)^{i+j}\det(M_{\hat{i}\hat{j}})Formule de la Comatrice
La formule à retenir est la suivante
M. ^tComat(M) = \det(M)I_n \in M_n(A)
Démonstration
Lors du calcul d’un coefficient diagonal, on reconnaît le développement sur la ligne i :
\begin{align*}
[M.^tComat(M)]_{i,i} & = \sum_{k=1}^n m_{i,k}.^tComat(M)_{k,i} \\
& = \sum_{k=1}^n m_{i,k}.Comat(M)_{i,k} \\
& = \sum_{k=1}^n m_{i,k}.(-1)^{i+k}\det(M_{\hat{i}\hat{k}}) \\
& = \det(M)
\end{align*}Pour le calcul d’un coefficient quelconque [M.^tComat(M)]_{i,j} avec i \neq j, posons temporairement \tilde{M} défini par:
\begin{align*}
lig_k(\tilde{M}) & := lig_k(M) \text{ pour } k \ne j \\
lig_j(\tilde{M}) & := lig_i(M)
\end{align*}En résumé, la matrice \tilde{M} est obtenue en partant de M et en plaçant une deuxième fois la ligne i dans la ligne j . \tilde{M} n’est pas inversible, et on obtient les égalités suivantes :
M_{\hat{j}\hat{k}} = \tilde{M}_{\hat{j}, \hat{k}} \\
m_{i,k} = \tilde{m}_{j,k} \\
\det(\tilde{M}) = 0Donnons enfin le calcul de [M.^tComat(M)]_{i,j}, où l’on reconnaît le développement de \tilde{M} sur la ligne j :
\begin{align*}
[M.^tComat(M)]_{i,j} & = \sum_{k=1}^n m_{i,k}.^tComat(M)_{k,j} \\
& = \sum_{k=1}^n m_{i,k}.Comat(M)_{j,k} \\
& = \sum_{k=1}^n \tilde{m}_{j,k}.(-1)^{j+k}\det(M_{\hat{j}\hat{k}}) \\
& = \sum_{k=1}^n \tilde{m}_{j,k}.(-1)^{j+k}\det(\tilde{M}_{\hat{j}\hat{k}}) \\
& = \det(\tilde{M})\\
& = 0.
\end{align*}Exercice
- Calculer ^tA. Comat(A).
- Montrer que M \in Gl_n(A) \text{ (possède un inverse) }\iff \det(M) \in A^*.
- Trouver Comat(I_n) .
- Soit M \in M_n(\mathbb{C}) fixé, combien de solutions X \in M_n(\mathbb{C}) peut avoir le système Comat(X) = M ?
- Lire la démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.
