Exercice corrigé : Déterminant de Smith

Voici l’énoncé d’un exercice qui permet de faire le calcul du déterminant de Smith. C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des déterminants et celui des anneaux. C’est un exercice tout à fait faisable en première année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Enoncé

Et c’est parti pour la correction ! J’espère que vous êtes au taquet. !

Corrigé

Tout d’abord, il faut savoir redémontrer la formule suivante :

n = \sum_{n | d} \varphi(n) 

Ensuite réécrivons i \wedge j

\begin{array}{ll}
i \wedge j &= \displaystyle \sum_{k | i \wedge j} \varphi(k)\\
 &= \displaystyle \sum_{k | i ; k | j} \varphi(k)\\
 &= \displaystyle \sum_{k =1}^n  b_{i k} c_{kj}
\end{array}

Où

b_{ik} = \left\{ \begin{array}{cl} \varphi(i) &\text{si } k |i \\ 0 & \text{sinon}\end{array} \right.

et

c_{kj} = \left\{ \begin{array}{cl} 1 &\text{si } k|j \\ 0 & \text{sinon}\end{array} \right.

Soit B = (b_{ij})_{1\leq i,j \leq n } et C = (c_{ij})_{1\leq i,j \leq n } .

On remarque que B est triangulaire inférieure et C est triangulaire supérieure. Il est donc facile de calculer leurs déterminants et de conclure :

\det(A) = \det(B) \det(C) = \prod_{k=1}^n \varphi(k) \prod_{k=1}^n 1

Ainsi le déterminant de Smith vaut :

\det(A)  = \prod_{k=1}^n \varphi(k)

Cet exercice vous a plu ?