Comment dater la mort d’une personne à partir de son cadavre ?

Voici un sujet nécessitant une modélisation mathématique : comment dater la mort d’une personne à partir de son cadavre ?

Prérequis

• Fonction exponentielle

Principes généraux

La baisse de température après un décès s’effectue en trois phases :

• Une phase dite de plateau thermique (qui dure les trois premières heures). Au tout début, et pour des raisons pour l’instant peu expliquées, la températeur du cadavre décroit très peu.
• Vient ensuite une phase intermédiaire de décroissance rapide, où la méthode de datation que nous allons voir après est la plus pertinente
• Une phase terminale de décroissance plus lente pour tendre vers la température ambiante

Une formule couramment utilisée fait intervenir 2 exponentielles, celle du docteur Clause Henssge, professeur à l’université d’Essen en Allemagne. La formule est la suivante :

\dfrac{T_{corps}-T_{ambiant}}{37,2 - T_{ambiant}} = 1,25 e^{-kt} - 0,25 e^{-5kt}

• T_ambiant correspond à la température de l’endroit où est situé le cadavre.
• t est le temps en heures
• k est un paramètre qui dépend de la masse M (en kg) de l’individu :

k = \dfrac{1,2815}{M^{0,625}}-0,0284

La mesure en pratique de cette datation

Si on veut faire cela :

Il faut mesurer T_corps et T_ambiant. Il faut connaitre la masse M. Et ensuite :

• On peut renverser l’équation définie au-dessus pour trouver t. Cette équation n’a pas forcément de solution
• On peut tracer f(t) = 1,25e^-kt – 0,25e^-5kt et trouver le bon point sur la courbe

Mais en pratique, cela est trop compliqué de résoudre ces équations, tracer cette courbe. C’est pourquoi le médecin Hengsse a créé un système d’abaque, appelé nomogramme, qui permet d’évaluer l’heure du décès

Exemple d’utilisation : Cadavre de 90 kg dont la température interne est de 25° C alors que la température extérieure est de 10° C.
• On trace un trait reliant la température interne de 25° C (à gauche) et la température ambiante de 10° C
(à droite). Ce trait coupe la droite diagonale en un point.
• On trace alors une seconde droite partant du centre de la cible et passant par le point précédent.
• Sur l’arc de cercle correspondant à une masse corporelle de 90 kg, on lit un délai post­mortem de
23h.
• Sur l’arc le plus extérieur, on lit que l’intervalle de confiance à 95% est de +/­ 3,2h

Cela signifie qu’un corps nu, de 90kg dans un air ambiant de 10° C dont la température interne est de 25° C est mort entre 23 – ­3,2=19,8h et 23+3,2=26,2h plus tôt donc dans l’intervalle [19,8h, 26,2h].

Coefficient correctif

La modélisation précédente se fait avec un corps nu dans un air . Pour les autres cas, on va appliquer un facteur correctif, noté Cf. Si Cf est supérieur à 1 alors le corps se refroidit plus lentement (ex : le cadavre était très habillé). Si Cf est inférieur à 1 alors le corps se refroid plus rapidement (ex : il y a beaucoup de vent en extérieur)

Voici une liste plutôt détaillée des coefficients correctifs.

Air calme

• Corps nu : Cf = 1,0
• Corps peu habillé : Cf = 1,1
• Corps habillé modérément : Cf = 1,2
• Corps habillé chaudement (plus de 4 couches de vêtements) : Cf = 1,4
• Corps très habillé, très couvert, lit : Cf = 2 à 2,4
• Corps nu et mouillé, air calme : Cf = 0,5
• Corps peu habillé et vêtements humides : Cf = 0,8
• Corps habillé modérément et vêtements humides : Cf = 1,2
• Corps habillé chaudement et vêtements humides : Cf = 1,2

Air en mouvement

• Corps nu : Cf = 0,75
• Corps peu habillé : Cf = 0,9
• Corps habillé modérément : Cf = 1,2
• Corps habillé chaudement : Cf = 1,4
• Corps nu et mouillé : Cf = 0,7
• Corps peu habillé et vêtements humides : Cf = 0,7
• Corps habillé modérément et vêtements humides : Cf = 0,9
• Corps habillé chaudement et vêtements humides : Cf = 0,9

Eau stagnante

• Corps nu : Cf = 0,5
• Corps peu habillé Cf = 0,7
• Corps habillé modérément : Cf = 0,9
• Corps habillé chaudement : Cf = 1,0

Eau courante

• Corps nu dans l’eau courante : Cf = 0,35
• Corps peu habillé dans l’eau courante : Cf = 0,5
• Corps habillé modérément dans l’eau courante : Cf = 0,8
• Corps habillé chaudement dans l’eau courante : Cf = 1,0

Si on reprend notre exemple précédent mais habillé chaudement avec un air calme : l’intervalle d’incertitude passe à 4,5h. Et on multiplie le résultat par Cf = 1,2 :

1,2  \times 23 = 27,6h

L’intervalle obtenu est donc [27,6-4,5h, 27,6+4,5h] = [23,1h,32,1h].

Cela termine notre article, cela fait un bon sujet de grand oral !