Nombres constructibles

Prérequis

• Extension de corps
• Géométrie euclidienne

Définitions

Nombres constructibles

Soit P un plan euclidien et B un sous-ensemble fini de P ayant au moins 2 éléments. Les éléments de B sont appelés points de base. Un point M de P est dit constructible si il existe une suite de points M_1, \dots, M_n=M, tels que tout M_i est soit l’intersection de deux droites, soit de deux cercles, soit d’une droite et d’un cercle, où ces derniers sont obtenus de la façon suivante :

Chaque droite passe par deux points distincts de B \cap \{M_1,\dots, M_{i-1}\} , et chaque cercle est centré en un point de B \cap \{M_1,\dots, M_{i-1}\} et a pour rayon la distance entre deux points de B \cap \{M_1,\dots, M_{i-1}\} .

Une droite passant par deux points constructibles est dite constructible. Un cercle centré en un point constructible est ayant pour rayon la distance entre deux points constructibles est dit constructible.

Un nombre réel est dit constructible si c’est une des coordonnées dans le repère (O, I, J) d’un point constructible.

Propriétés des nombres constructibles

Propriété : L’ensemble \mathcal{C} des nombres constructibles est un sous-corps de \mathbb{R} , stable par racine carrée.

Preuve : Si u \in \mathcal{C} , alors -u \in \mathcal{C} . En effet, soit A le point de l’axe O_x d’abscisse u , alors en traçant le cercle de centre 0 et de rayon u passant par A , on construit ainsi le réel -u .

Soient u,v \in \mathcal{C} . Soit A le point de l’axe O_x d’abscisse u , on construit B en utilisant le cerlce de centre A et de rayon v . On construit ainsi u + v .

On construit uv en utilisant le théorème de Thalès. Soit A le point de l’axe O_x d’abscisse u , soit B le point de l’axe O_y d’abscisse v . La parallèle à IB passant par A coupe O_y en C . Alors \frac{\overline{OC}}{\overline{OB}} = \frac{\overline{OA}}{\overline{OI}} et ainsi \overline{OC} = uv .

Si u \in \mathcal{C}, u \neq 0 alors \frac{1}{u} \in \mathcal{C} . Soit A le point de l’axe O_x d’abscisse u . La parallèle à AJ passant par I coupe O_y en B . Alors par le théorème de Thalès, \frac{\overline{OB}}{\overline{OJ}} = \frac{\overline{OI}}{\overline{OA}} d’où \overline{OB} = \frac{1}{u} .

Si u \in \mathcal{C}, u \geq 0 , alors \sqrt{u} \in \mathcal{C} . Soit A le point de l’axe O_x tel que IA = u . Soit M le milieu du segment OA , la perpendiculaire en I à O_x coupe le cercle de centre M et de rayon OM en un point B d’ordonnée positive. Le triangle OBA étant rectangle nous avons IB^2 = OI \cdot IA , et donc IB = \sqrt{u} .

Théorème de Wantzel

Lemme préliminaire

Si M est un point de coordonnées (x,y) dans le repère orthonormé (O,I,J) du plan euclidien P , on notera M(x,y) .

Lemme : Si D est une droite de P passant par deux points A(a_1,a_2) et B(b_1,b_2) alors D a une équation de la forme \alpha x + \beta y + \gamma = 0 avec \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}(a_1,a_2,b_1,b_2) . De même, un cercle de centre A et de rayon BC a une équation de la forme x^2+y^2-2 \alpha x - 2\beta y + \gamma = 0 avec \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2) .

Preuve : D a pour équation y-a_2=(x-a_1) \frac{b_2-a_2}{b_1-a_1} que l’on réécrit facilement sous la forme souhaitée. Le cercle a pour équation (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 = (c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2 que l’on réécrit facilement sous la forme souhaitée.

Démonstration du théorème

Théorème de Wantzel : Un réel t est constructible si et seulement si il existe L_1 \subset \dots \subset L_p des sous-corps de \mathbb{R} tels que L_1 = \mathbb{Q}, [L_{i+1}:L_i]=2, t \in L_p .

Preuve : Si t est constructible, alors c’est l’abscisse d’un point M de O_x . Soient M_1, \dots, M_n = M la suite de points permettant de construire M . On peut supposer que M_1 = O et M_2 = I les points de base. On pose K_1=\mathbb{Q}(x_1,y_1), \dots, K_n = \mathbb{Q}(x_1,\dots,y_n) et alors K_1=K_2=\mathbb{Q} et t=x_n \in K_n . Montrons que K_{i+1} = K_i ou [K_{i+1}:K_i]=2 .

Le cas i=1 est évident. Supposons i \geq 2 , on va alors distinguer 3 cas pour le point M_{i+1} .

Premier cas : M_{i+1} est à l’intersection de deux droites. On résout le système suivant :

\left \{
\begin{array}{rcl}
\alpha x+\beta y + \gamma &=&0 \\
\alpha' x+\beta'y + \gamma'&=&0
\end{array}
\right. \alpha, \beta, \gamma, \alpha', \beta',\gamma' \in K_i

Alors x_{i+1}, y_{i+1} sont solution de ce système, et on voit qu’ils appartiennt à K_i . Donc K_{i+1} = K_i .

Deuxième cas : M_{i+1} est à l’intersection d’une droite et d’un cercle. Alors x_{i+1}, y_{i+1} sont solution d’un système de la forme :

\left \{
\begin{array}{rcl}
\alpha x+\beta y + \gamma &=&0 \\
x^2+y^2 - 2\alpha' x-2 \beta'y + \gamma'&=&0
\end{array}
\right. \alpha, \beta, \gamma, \alpha', \beta', \gamma' \in K_i

Si \beta \neq 0 , on isole y dans la première équation, et on le reporte dans la seconde. Cette équation est dans K_i et x_{i+1} est une solution. Ainsi, si x_{i+1} \in K_i , alors y_{i+1} \in K_i et K_{i+1} = K_i . Sinon, x_{i+1} est algébrique sur K_i de degré 2. Donc K_{i+1} = K_i(x_{i+1},y_{i+1})=K_i(x_i) car y_{i+1} s’écrit en fonction de x_{i+1} et on a bien [K_{i+1}:K_i]=2 .

Si \beta =0 , alors \alpha \neq 0 , et on fait le même type de raisonnement mais avec l’équation aux ordonnées.

Troisième cas : M_{i+1} est à l’intersection de deux cercles. Alors x_{i+1}, y_{i+1} sont solution d’un système de la forme :

\left \{
\begin{array}{rcl}
x^2+y^2 - 2\alpha x-2 \beta y + \gamma &=&0 \\
x^2+y^2 - 2\alpha' x-2 \beta'y + \gamma'&=&0
\end{array}
\right. \alpha, \beta, \gamma, \alpha', \beta', \gamma' \in K_i

Ce dernier est équivalent au système suivant :

\left \{
\begin{array}{rcl}
x^2+y^2 - 2\alpha x-2 \beta y + \gamma &=&0 \\
2(\alpha-\alpha')x + 2(\beta-\beta')y-(\gamma-\gamma')&=&0
\end{array}
\right. \alpha, \beta, \gamma, \alpha', \beta', \gamma' \in K_i

Et on est ainsi ramené au cas précédent. On a donc bien construit une suite de sous-corps de \mathbb{R} tels que K_1 = \mathbb{Q}, t \in K_n et K_{i+1} = K_i ou [K_{i+1}:K_i] = 2 . Quitte à enlever les corps superflus, on peut supposer la suite strictement croissante.

Réciproquement, supposons l’existence d’une telle suite de sous-corps, et montrons par récurrence sur j que L_j \in \mathcal{C} . On a L_1 = \mathbb{Q} \subseteq \mathcal{C} car \mathbb{Q} est le plus petit sous-corps de \mathbb{R} .

Soit a \in L_{j+1} , alors la famille 1, a, a^2 est liée sur L_j car [L_{j+1}:L_j]=2 . Ainsi, il existe \alpha, \beta,\gamma \in L_j tels que \alpha a^2 + \beta a + \gamma = 0 . Si \alpha = 0, a = \frac{-\gamma}{\beta} \in L_j \subset \mathcal{C} . Si \alpha \neq 0, a = \frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2-4 \alpha \gamma}}{2 \alpha} \in \mathcal{C} car on a la stabilité par racine carrée.

Présentons maintenant le corollaire suivant :

Théorème : Tout nombre constructible est algébrique sur \mathbb{Q} et son degré est une puissance de 2.