Voici une famille de nombres intéressante à connaitre : les nombres de Fermat. Une autre famille qui pourrait être intéressante est celle des nombres de Mersenne. Cette famille peut être vue dans le cadre du chapitre de l’arithmétique.
Définition des nombres de Fermat
Soit n un entier naturel. On dit que F_n = 2^{2^n}+1 est un nombre de Fermat.
Ce qui justifie qu’on s’intéresse à ces nombres est le théorème suivant : Soit k un entier strictement positif ; si le nombre a^k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2 et a= 2 .
Nombre premier de Fermat
Soit p un nombre premier. Ce nombre est dit premier de Fermat s’il existe un entier naturel n tel que
p = 2^{2^n} +1 Les nombres premiers de Fermat connus
Les nombres premiers de Fermat connus sont au nombre de 5 et sont :
- p = 3 (n = 0)
- p = 5 (n = 1)
- p = 17 (n = 2)
- p = 257 (n= 3)
- p = 65537 (n = 4)
Les 5 premiers entiers nous donnent donc les 5 nombres premiers de Fermat connus.
Par exemple, on a F_5 = 4 294 967 297 = 641 \times 6 700 417.
Propriétés
Voici les propriétés connues des nombres de Fermat :
On a F_0=3
La relation de récurrence suivante est vérifiée :
F_n = (F_{n-1} - 1)^2 +1En posant F_1 = 5, on a la relation de récurrence double suivante :
F_n = F_{n-1}^2 -2 (F_{n-1}-1)^2On a aussi une relation de récurrence forte :
F_n = \prod_{k=1}^{n-1} F_k +2On a donc décomposé ce nombre comme le produit de deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Donc là aussi, il n’est pas premier.
Lien avec les polygones réguliers
Voici le théorème établi par Gauss et Wantzel sur la construction à la règle et au compas :
Un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d’une puissance de 2 (éventuellement égale à 1) et d’un nombre fini (éventuellement nul) de nombres de Fermat premiers distincts.
Et découvrez notre article sur les nombres constructibles :
