La fonction sigmoïde est une fonction mathématique largement utilisée en machine learning et en neurosciences. Découvrons dans cet article ses principales propriétés et faisons quelques exercices corrigés.
Définition de la fonction sigmoïde
La fonction sigmoïde est une fonction définie sur l’ensemble des réels. Elle prend des valeurs entre 0 et 1 et est souvent utilisée pour modéliser des probabilités. Sa courbe est en forme de “S”, d’où son nom.
On la définit par :
S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}où e est la fonction exponentielle
Voici son graphe :
Propriétés de la fonction sigmoïde
- La fonction sigmoïde est croissante sur ]-\infty;+\infty[
- Sa dérivée est donnée par : S'(x) = S(x)(1 - S(x)) .
- On peut la réécrire, en multipliant par e^x au numérateur et au dénominateur : S(x)=\dfrac{e^x}{e^x +1}
- Elle est souvent utilisée comme fonction d’activation dans les réseaux de neurones en raison de ses propriétés non linéaires.
Résolution d’équations
Pour résoudre une équation de la forme S(x) = a, on peut utiliser la définition de la fonction sigmoïde et isoler x.
Par exemple, pour résoudre S(x) = 0,1, on va faire :
\begin{array}{ll}
& S(x) = 0,1 \\
\iff & \dfrac{1}{1+e^{-x}}= 0,1 \\
\iff & 1= 0,1 (1+e^{-x})\\
\iff & 10= 1+e^{-x}\\
\iff & 9=e^{-x}\\
\iff & -x = \ln(9) \\
\iff & x = \ln\left(\frac{1}{9}\right) \\
\end{array}Exercices corrigés
Exercice 1 : Trouver la dérivée de la fonction sigmoïde. Retrouver la forme définie dans les propriétés
Solution : On remarque que cette fonction est de la forme \dfrac{1}{u}. On utilise donc la bonne formule :
S'(x) = -\dfrac{-e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} =\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} Ensuite, pour obtenir la formule voulue, on scinde en un produit :
\begin{array}{ll}
S'(x)& = \dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\\
& = \dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})}\dfrac{1}{(1+e^{-x})}\\
& = \dfrac{(1+ e^{-x})-1}{(1+e^{-x})}\dfrac{1}{(1+e^{-x})}\\
& =\left( 1-\dfrac{1}{(1+e^{-x})}\right)\dfrac{1}{(1+e^{-x})}\\
& =S(x) (1-S(x))
\end{array}Exercice 2 : Trouver la valeur de x pour laquelle S(x) = 0,5.
Solution : On se retrouve à résoudre un système :
\begin{array}{ll}
&S(x) = 0,5 \\
\iff & \dfrac{1}{1+e^{-x}} = 0,5\\
\iff & 1= 0,5(1+e^{-x})\\
\iff & 2= 1+e^{-x}\\
\iff & 1= e^{-x}\\
\iff & -x= 0\\
\iff & x= 0\\
\end{array}Qui est donc l’unique solution
Exercice 3 : Résoudre l’inéquation S(x) > 0.7.
Solution : On résoud alors le système :
\begin{array}{ll}
&S(x) > 0,7 \\
\iff & \dfrac{1}{1+e^{-x}} > 0,7\\
\iff & 1> 0,7(1+e^{-x})\\
\iff &\dfrac{10}{7}> 1+e^{-x}\\
\iff & \dfrac{3}{7} > e^{-x}\\
\iff & -x< \ln\left(\frac{3}{7}\right) \\
\iff & x> \ln\left(\frac{7}{3}\right)\\
\end{array}La solution est donc \mathcal{S} = ]\ln\left(\frac{7}{3}\right) ; +\infty[ .
Exercices
- Trouver la valeur de x pour laquelle S(x) = 0.8.
- Montrer que la fonction sigmoïde est bornée entre 0 et 1.
- Trouver l’intervalle de valeurs de x pour lequel S(x) > 0.9.
