Exercice corrigé : Déterminant de Vandermonde

Voici un exercice corrigé détaillé calculant le déterminant de Vandermonde
Déterminant de Vandermonde

Voici l’énoncé d’un exercice qui permet de faire le calcul du déterminant de Vandermonde. C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des déterminants et celui polynômes. C’est un exercice tout à fait faisable en première année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Déterminant de Vandermonde

Et voici son calcul !

Commençons d’abord par dessiner ce déterminant :

V(a_1,\ldots,a_n)=\begin{vmatrix}
1 & a_1 & \ldots & a_1^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{n-1}\\
1 & a_n & \ldots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix}

Notons que si

\exists i \neq j, a_i = a_j

Alors c’est le déterminant d’une matrice que a 2 lignes égales et donc son déterminant est nul. Dans la suite du calcul, on supposera donc que les ai sont distincts 2 à 2. Dans ce cas, la formule qu’on va établir par la suite est toujours valable.

Formule de récurrence

Nous allons ensuite établir une formule de récurrence entre

V(a_1,\ldots,a_n) \text{ et } V(a_1,\ldots,a_{n-1}) 

Pour cela, nous allons utiliser des polynômes et remplacer an par X.

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, X)=\begin{pmatrix}
1 & a_1 & \ldots & a_1^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{n-1}\\
1 & X & \ldots & X^{n-1}
\end{pmatrix}

En développant par rapport à la dernière ligne, on s’aperçois que V est un polynôme de degré au plus n-1. En effet, le développement donne :

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, X) = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-1-k}X^k D_k 

D_0, \ldots, D_{n-1} sont des déterminants extraits.

Trouvons ses racines. Si on identifie X en ai pour i compris entre 1 et n-1, on a

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_i) = 0

car 2 lignes sont égales et donc la matrice est de rang au plus n – 1.
Maintenant, on a trouvé n-1 racines pour un polynôme de degré au plus n -1. On obtient alors que :

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, X) = C \prod_{i=1}^n (X-a_i)

Avec C une constante que nous allons maintenant déterminer. La réponse est assez simple : c’est la valeur devant le coefficient de degré n – 1.
Si on développe par rapport à la dernière ligne, on obtient que le coefficient devant n – 1 est le déterminant extrait. C’est à dire que :

C =\begin{pmatrix}
1 & a_1 & \ldots & a_1^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{n-2}
\end{pmatrix}= V(a_1,\ldots,a_{n-1})

On a donc obtenu la relation suivante :

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, X) = V(a_1,\ldots,a_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} (X-a_i)

Et en identifiant X en an, on obtient la relation de récurrence suivante

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = V(a_1,\ldots,a_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)

Calcul du déterminant de Vandermonde

Passons maintenant au calcul final du déterminant de Vandermonde ! Itérons la relation de récurrence :

\begin{array}{l}
\displaystyle V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = V(a_1,\ldots,a_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)\\
\displaystyle V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = V(a_1,\ldots,a_{n-2}) \prod_{i=1}^{n-2} (a_{n-1}-a_i)\prod_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)\\
\ldots \\
\displaystyle V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = \prod_{j=1}^n \prod_{i=1}^{j-1} (a_{j}-a_i)\\
\displaystyle V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j}-a_i)

\end{array}

Ce qui nous donne bien la formule du déterminant de Vandermonde !

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3 commentaires
  1. “Maintenant, on a trouvé n-1 racines pour un polynôme de degré au plus n -1.”
    C’est vrai uniquement si les a_i sont distincts.

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