Exercice corrigé : Déterminant de Vandermonde

Voici l’énoncé d’un exercice qui permet de faire le calcul du déterminant de Vandermonde. C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des déterminants et celui des polynômes. C’est un exercice tout à fait faisable en première année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Et voici son calcul !

Commençons d’abord par dessiner ce déterminant :

V(a_1,\ldots,a_n)=\begin{vmatrix}
1 & a_1 & \ldots & a_1^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{n-1}\\
1 & a_n & \ldots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix}

Notons que si

\exists i \neq j, a_i = a_j

Alors c’est le déterminant d’une matrice que a 2 lignes égales et donc son déterminant est nul. Dans la suite du calcul, on supposera donc que les a_i sont distincts 2 à 2. Dans ce cas, la formule qu’on va établir par la suite est toujours valable.

Formule de récurrence

Nous allons ensuite établir une formule de récurrence entre

V(a_1,\ldots,a_n) \text{ et } V(a_1,\ldots,a_{n-1}) 

Pour cela, nous allons utiliser des polynômes et remplacer a_n par X.

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, X)=\begin{pmatrix}
1 & a_1 & \ldots & a_1^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{n-1}\\
1 & X & \ldots & X^{n-1}
\end{pmatrix}

En développant par rapport à la dernière ligne, on s’aperçois que V est un polynôme de degré au plus n-1. En effet, le développement donne :

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, X) = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-1-k}X^k D_k 

Où D_0, \ldots, D_{n-1} sont des déterminants extraits.

Trouvons ses racines. Si on identifie X en a_i pour i compris entre 1 et n-1, on a

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_i) = 0

car 2 lignes sont égales et donc la matrice est de rang au plus n – 1.
Maintenant, on a trouvé n-1 racines pour un polynôme de degré au plus n -1. On obtient alors que :

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, X) = C \prod_{i=1}^{n-1} (X-a_i)

Avec C une constante que nous allons maintenant déterminer. La réponse est assez simple : c’est la valeur devant le coefficient de degré n – 1.
Si on développe par rapport à la dernière ligne, on obtient que le coefficient devant n – 1 est le déterminant extrait. C’est à dire que :

C =\begin{pmatrix}
1 & a_1 & \ldots & a_1^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{n-2}
\end{pmatrix}= V(a_1,\ldots,a_{n-1})

On a donc obtenu la relation suivante :

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, X) = V(a_1,\ldots,a_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} (X-a_i)

Et en identifiant X en a_n, on obtient la relation de récurrence suivante

V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = V(a_1,\ldots,a_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)

Calcul du déterminant de Vandermonde

Passons maintenant au calcul final du déterminant de Vandermonde ! Itérons la relation de récurrence :

\begin{array}{l}
\displaystyle V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = V(a_1,\ldots,a_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)\\
\displaystyle V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = V(a_1,\ldots,a_{n-2}) \prod_{i=1}^{n-2} (a_{n-1}-a_i)\prod_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)\\
\ldots \\
\displaystyle V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = \prod_{j=1}^n \prod_{i=1}^{j-1} (a_{j}-a_i)\\
\displaystyle V(a_1,\ldots,a_{n-1}, a_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j}-a_i)

\end{array}

Ce qui nous donne bien la formule du déterminant de Vandermonde !

Cet exercice vous a plu ?