La distributivité en mathématiques : Cours et exercices corrigés

La distributivité est une propriété fondamentale des opérations mathématiques, notamment de l’addition et de la multiplication. Elle joue un rôle essentiel dans la simplification des expressions et la résolution des équations. Dans cet article, nous explorerons la notion de distributivité, ses applications et quelques exercices pour renforcer votre compréhension.

Cours

Intuition

ABEF, BCDE et ACDF sont 3 rectangles. On peut calculer de ACDF de 2 manières :

• En disant que c’est l’aire totale : elle vaut donc a \times (b+c)
• En disant que c’est la somme des aires de ABEF et BCDE. Elle vaut donc a \times b + a \times c

On a donc :

a \times (b+c) = a\times b + a \times c

C’est ce qu’on appelle la distributivité !

Définition de la distributivité

La distributivité est une propriété qui établit une relation entre l’addition et la multiplication. Elle stipule que pour tous nombres réels a, b et c, on a :

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

Cette propriété est essentielle car elle permet de simplifier des expressions complexes et de résoudre des équations plus facilement. Lorsqu’on passe de l’expression de gauche à celle de droite, on parle de “développer”

On peut aussi écrire la version avec un signe – (qui découle en fait de la première) :

a \times (b - c) = a \times b - a \times c

Exemple illustratif

Considérons la multiplication de 3 par la somme de 4 et 5. En utilisant la distributivité, nous obtenons :

\begin{array}{rcl}
3 \times (4 + 5) &=& 3 \times 4 + 3 \times 5\\
& = & 12+15\\
& =& 27
\end{array}

Exercices corrigés

Exercice 1 : Développer l’expression 5(y + z).

Solution :

5(y + z) = 5y + 5z

Exercice 2 : Résoudre l’équation 4(x + 3) = 20.

Solution :

\begin{array}{rrcl}
&4(x + 3) &=& 20\\
 \iff & 4x+4\times 3 &=& 20\\
 \iff & 4x+12&=& 20\\
\iff & 4x&=& 8\\
\iff & x &=& 2
\end{array}

Exercices

Exercice 1 : Distributivité simple

Simplifiez les expressions suivantes en utilisant la propriété de distributivité :

1. 3(x + 7)
2. 5(2y – 3)
3. 4(3z + 2) – 2z

Exercice 2 : Distributivité double

Simplifiez les expressions suivantes :

1. x(2y + 3) + 4y(3x – 2)
2. 3z(2x – y) – 2x(3y + z)

Exercice 3 : Application de la distributivité

Soit l’expression (E) : 2(3x + 4) + 5(2x - 3)

a) Simplifiez l’expression (E).

b) Si x = 3, quelle est la valeur de (E) ?

Exercice 4 : Distributivité et équations

Résolvez les équations suivantes :

1. 3(x + 4) = 21
2. 5(2y – 3) = 25
3. 4(2z + 3) – 3z = 29

Exercice 5 : Développer et réduire

Développer et réduire les expressions suivantes :

1. 4(x-1) +6(5x-7) -3(1-x) +10
2. x(x+4) -2x(5x-4)-(1-2x)-7
3. x(2y −1)− y(2x −1)+ x(x + y)− y(x − y)

Exercice 6 : Challenge

Soit l’expression (F) : x(3y + 4z) + y(2z - 3x)

a) Simplifiez l’expression (F).

b) Si x = 2, y = 3 et z = 4, quelle est la valeur de (F) ?