Approximer des nombres réels par des suites

Comment approximer des nombres réels par des suites ? De nombreuses méthodes permettent de traiter ce vaste sujet
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Comment approximer des nombres réels par des suites ? C’est un sujet qui pourrait être proposé pour le grand oral ! Dans cet article, découvrez quelques méthodes permettant de le faire. Vous savez quoi ? J’ai eu un TIPE à quasiment ce sujet, donc je vous le donne à la fin de l’article pour récupérer quelques démonstrations.

Prérequis

Une méthode théorique simple

Soit x \in \R . La suite (u_n)_{n \in \N} définie par

u_n = \dfrac{\lfloor 10^n x\rfloor }{10^n}

est une suite de rationnels convergeant vers x. En effet :

  • \lfloor 10^n x\rfloor \in \Z
  • 10^n \in \N
  • De plus, on a 10^n x - 1 < \lfloor 10^n x\rfloor \leq 10^n x \iff \dfrac{10^n x - 1 }{10^n} < u_n \leq x . Par encadrement, on obtient \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = x

On aurait donc trouvé le candidat parfait. C’est en fait la décomposition en base 10 de ce nombre, avec u_n qui est l’approximation de ce nombre avec n chiffres après la virgule. Donc par exemple, si on prend x = \pi , on aura :

\begin{array}{lll}
u_0 & =& 3\\
u_1 & =& 3,1\\
u_2 & =& 3,14\\
u_3 & =& 3,141\\
\vdots\\
u_{10} & =& 3,1415926535\\
\end{array}

On a aussi la version base 2 :

u_n = \dfrac{\lfloor 2^n x\rfloor }{2^n}

Et en soit on pourrait mettre n’importe quel entier (voire même rationnel) strictement supérieur à 1. Cependant, c’est en fait le serpent qui se mord la queue : pour pouvoir calculer les termes de la suite, il faut en fait très bien connaitre le réel en question. Et donc cela ne nous permet pas de calculer les termes d’une suite inconnue.

En fait, on n’a a priori pas de méthode générale, mais on peut le faire pour des familles de réels. Voici ci-dessous deux exemples pour approximer des racines

La suite de Héron

On va maintenant s’intéresser au cas particulier des racines carrées. Soit a \in \N , on va chercher à approximer \sqrt{a} . On définit la suite de Héron par

\left\{ \begin{array}{lll} u_0&=&1\\ u_{n+1} & =& \dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{a}{u_n}\right)\end{array}\right.

Alors (u_n)_{n\in \N} est une suite de rationnels qui converge vers \sqrt{a}

On peut même approximer \sqrt[n]{a} avec la suite définie par

\left\{ \begin{array}{lll} u_0&=&a\\ u_{k+1} & =& \dfrac{1}{2}\left((n-1)u_k+\dfrac{a}{u_k^{n-1}}\right)\end{array}\right.

Le PDF ci-dessous vous donnera plus de détails.

Avec des suites adjacentes

Comme dans la partie précédente, on va chercher à approximer la racine d’un entier, mais cette fois en utilisant les suites adjacentes

On va définir les deux suites suivantes :

\left\{ \begin{array}{lll} u_0&=&a\\ v_0&=&1\\ u_{n+1} & =& \dfrac{u_n+v_n}{2}\\
v_{n+1}&=& \dfrac{2}{\frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n}}\end{array}\right.

Alors les deux suites sont adjacentes avec \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} u_n =\lim_{ n \to + \infty} v_n = \sqrt{a}

Divers : Suite qui tend vers e

Avec des suites adjacentes, on peut avoir une approximation de e par des rationnels assez facilement, nous avons dédié un article à ce sujet :

    Mon TIPE

    Et voici mon TIPE, notamment utile pour la suite de Héron :

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