Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de forme multilinéaire. Cette notion est utile pour introduire la notion de déterminant.
Prérequis
Définition
Soit \mathbb{K} un corps. On note E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Soit f une application de E^p dans \mathbb{K}. f est appelée une forme p-linéaire si
\forall (u_1, \ldots, u_p) \in E^p,f_p:\left\{ \begin{array}{ccc}E & \to &\mathbb{K} \\ x & \mapsto & f(u_1, \ldots, u_{i-1}, x,u_{i+1}, \ldots,u_p) \end{array}\right.est une forme linéaire. Si p = 2, on parle de forme bilinéaire. Par exemple,
\varphi:\left\{ \begin{array}{ccc}\R[X]^3 & \to &\mathbb{R} \\ (P,Q,R) & \mapsto & P(0)Q(1)R(2) \end{array}\right.est une forme 3-linéaire (trilinéaire ?).
Propriétés
Soit f une forme p-linéaire. On dit que celle-ci est :
- Alternée si \exists i \neq j, x_i = x_j \Longrightarrow f(x_1, \ldots,x_p) = 0
- Antisymétrique si l’échange de deux vecteurs donne des valeurs opposées à f : f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_j , \ldots, x_n) = - f(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_i, \ldots, x_n)
- Symétrique si toute permutation ne change pas la valeur de f.
- L’ensemble des formes n-linéaires alternées de E dans \mathbb{K} est un \mathbb{K}-espace vectoriel
- Toute application alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie si et seulement \mathbb{K} n’est pas un corps de caractéristique 2.
- Soit \sigma \in S_p. On note \varepsilon(\sigma) la signature de \sigma. Si f est antisymétrique alors f(x_{\sigma_1}, \ldots, \sigma_p ) = \varepsilon(\sigma) f(x_1, \ldots, x_p)
