Exercices corrigés : Déterminants

Voici quelques exercices corrigés liés au chapitre des déterminants
Déterminant

Dans cet article, nous allons corriger quelques exercices sur les déterminants. Si vous cherchez plutôt des énoncés, allez plutôt voir notre page dédiée

Exercice 1

Enoncé

Identité avec des déterminants

Corrigé

Ce petit exercice est un échauffement, il suffit d’utiliser le fait que A est inversible ainsi que les propriétés du déterminant :

\det(I_n+AB)=\det(A(A^{-1}+B))=\det(A)\det(A^{-1}+B)\\ 
= \det(A^{-1}+B)\det(A) = \det((A^{-1}+B)A)=\det(I_n+BA)

Et voilà, c’est déjà terminé ! Le second exercice est plus compliqué mais, il ressemble un petit peu au premier.

Exercice 2

Enoncé

Propriété de matrice nilpotente

Corrigé

\text{Puisque A est nilpotente,}\; \exist k\in\mathbb{N}^* \; A^k=0_{M_{n}(\mathbb{R})} 
\text{Puisque}\; B \;\text{est inversible, son inverse qu'on notera}\; B^{-1} \;\text{existe}.

On peut écrire :

\det(A+B)=\det(B(B^{-1}A+I_n))

De plus, puisque A et B commutent, on montre que A et l’inverse de B commutent aussi. En effet :

AB=BA\Longleftrightarrow B^{-1}ABB^{-1}=B^{-1}BAB^{-1}\Longleftrightarrow B^{-1}A = AB^{-1}

Mais alors, puisqu’elles commutent, et puisque A est nilpotente d’ordre k,

(B^{-1}A)^k=(B^{-1})^kA^k=0_{M_n(\mathbb{R})} \Longleftrightarrow B^{-1}A \; \text{nilpotente d'ordre au plus} \;k

De ce fait, cette dernière matrice s’écrit, dans une certaine base, comme une matrice triangulaire supérieure stricte (i.e : une matrice triangulaire supérieure avec des 0 sur la diagonale).
Cela se traduit par :

\exist P\in \text{Gl}_n(\mathbb{R}),\; B^{-1}A=P^{-1}TP\;\text{où}\;T\;\text{est triangulaire supérieure stricte.}

Ainsi,

B^{-1}A+I_n=P^{-1}TP+I_n=P^{-1}(T+I_n)P

Dans cette même base, la matrice B^{-1}A + I_{n} est donc semblable à T + I_{n}, or,

T+I_n = \begin{pmatrix}
0&*&*&*\\ 
\vdots&\ddots&*&*\\ 
\vdots&&\ddots&*\\ 
0&\dots&\dots&0\\
\end{pmatrix} 
+ \begin{pmatrix}
1&0&\dots&0\\ 
0&\ddots&\ddots&\vdots\\ 
\vdots&\ddots&\ddots&0\\ 
0&\dots&0&1\\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1&*&*&*\\ 
0&1&*&*\\
\vdots&\ddots&\ddots&*\\
0&\dots&0&1

\end{pmatrix}

De ce fait, \det(T+I_n) = 1 et on sait que le déterminant est invariant par changement de base. En effet :

\det(B^{-1}A+I_n)=\det(P^{-1}(T+I_n)P)=\det(P^{-1})\det(P)\det(T+I_n)\\
                            \qquad\quad\;= \det(P^{-1}P)\det(T+I_n) =\det(T+I_n) = 1

Finalement,

\det(A+B)=\det(B)\det(B^{-1}A+I_n)=\det(B)

C’est ce qu’on recherchait !

Exercice 3

Enoncé

Caractérisation de Gln(Z)

Corrigé

Commençons par le sens direct, supposons A inversible à coefficients entiers.
Justifions rapidement que le déterminant d’une matrice à coefficient entiers est entier.
D’après la formule du déterminant,

\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{1\leq k\leq n}a_{i,{\sigma(i)}} \quad 

Comme,

\forall \sigma\in S_n, \;|\varepsilon(\sigma)|=1 \;\text{et,}\;\;\forall(i,j)\in \lbrace1,\dots,n\rbrace^2,\; a_{i,j}\in\mathbb{Z}

On en déduit que le déterminant de A est aussi un entier.

Puisque A est inversible dans M_n(\mathbb{Z}) ,

\exist B\in M_n(\mathbb{Z})| \; AB = I_n

Donc,

\det(AB)= \det(A)\det(B) = 1

Mais puisque les déterminants sont entiers,

\det(A) |1 \;\Longleftrightarrow\det(A)\in\lbrace-1,1\rbrace

Réciproquement, si \det (A) \in \{ -1,1 \}, on a A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} {}^t com(A) où com est la comatrice. Puis, comme les coefficients de la comatrice sont des sommes et produits des coefficients de A, donc entiers, A^{-1} \in Gl_n(\Z)

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