Exercice corrigé : Convergence de série et PPCM

Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un calcul de convergence de série définie par un PPCM. C’est un exercice associé au chapitre des séries. Il faut être au point en arithmétique, et notamment en PPCM. C’est un exercice de première année ou deuxième année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Voici la correction

Utilisons l’inégalité suivante, que nous allons démontrer. On note d(n) le nombre de diviseur de l’entier n. On a :

d(n) \leq 2 \sqrt{n}

Démontrons cette inégalité. Soit d un diviseur de n. Il existe un entier k tel que

dk = n

Nécessairement, si

d \leq \sqrt{n}

Alors

k \geq \sqrt{n}

En effet, car si

d \leq \sqrt{n}, k < \sqrt{n} \text{ alors } dk < n 

De même, si

d \geq \sqrt{n}

Alors

k \leq \sqrt{n}

Donc pour chaque couple de diviseurs, au moins l’un des deux est plus petit que la racine de n. Donc on a au maximum :

\begin{array}{l}
\sqrt{n} \text{ diviseurs plus petits que n}\\
\sqrt{n} \text{ diviseurs plus grands que n}
\end{array}

D’où l’inégalité annoncée au début :

d(n) \leq 2 \sqrt{n}

Notons maintenant p = ppcm(a₁,…,a_n). p a au moins n diviseurs, qui sont les a_i. On va donc avoir :

n \leq d(p) 

Or, d’après l’inégalité qu’on a montré au début :

d(p) \leq 2 \sqrt{p}

Ce qui va nous permettre d’avoir une minoration de p :

\begin{array}{l}
n \leq 2 \sqrt{p}\\
\Leftrightarrow n^2 \leq 4 p\\
\Leftrightarrow \dfrac{n^2}{4} \leq p
\end{array}

La majoration suivante est alors obtenue :

 \dfrac{1}{ppcm(a_1,\ldots,a_n)}=\dfrac{1}{p} \leq \dfrac{4}{n^2}

On a donc majoré par une série de Riemann bien connue. On peut donc affirmer la convergence de cette série définie par un PPCM. L’exercice est maintenant résolu.

Généralisation

Dans quel mesure le résultat obtenu à l’exercice précédent peut-il se généraliser lorsqu’on élève à une puissance α ?

Cet exercice vous a plu ?