Le théorème de Thalès : Cours et exercices corrigés

C’est un grand classique du collège le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès est l’un des premiers qu’on apprend en mathématiques. Besoin de réviser ou d’apprendre cette notion ? C’est parti !

Prérequis

• Les triangles semblables

Enoncé du théorème de Thalès

Soit un triangle ABC. Soient deux points D  et  E. D est situé sur la droite (AB).  E est situé sur la droite  (AC). Alors :

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}

Voici un schéma représentant la situation

Exprimé autrement, le théorème de Thalès dit que les triangles ADE et ABC sont semblables.

Une seconde configuration est possible pour le théorème de Thalès :

Réciproque du théorème de Thalès

Soit (d) la droite passant par BC. Soit (d’) la droite passant par DE. Si \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} alors les droites (d) et (d’) sont parallèles.

Conséquence du théorème de Thalès : Si \dfrac{AD}{AB} \neq \dfrac{AE}{AC}

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé

Soit AD = 4cm, AC = 7cm, AE = 5cm et DE = 6 cm. Calculer BC et AB.

Corrigé

Le théorème de Thalès nous donne

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}

Et on a donc :

\dfrac{AE}{AC}= \dfrac{DE}{BC}

On peut donc en déduire :

BC = \dfrac{DE \times AC}{AE} = \dfrac{6 \times 7 }{5} = \dfrac{42}{5} = 8,4

De même, on a l’égalité

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} 

On peut alors en tirer :

AB = \dfrac{AD \times AC}{AE} = \dfrac{4 \times 7}{5}= \dfrac{28}{5} = 5,6

Exercice 2

Enoncé

Soit AC = 6cm, CE = 6cm, CD = 4cm. Calculer BC.

Corrigé

D’après le théorème de Thalès, on a dans cette configuration :

\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{DE}{AB}

On a donc :

\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} 

Ainsi,

BC = \dfrac{CE \times CA}{CD} = \dfrac{6 \times 6}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 

Exercice 3

Enoncé

On sait que AD = 4 cm, AB = 8 cm, AE = 5 cm et AC = 10 cm. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?

Corrigé

On a, d’une part :

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}

D’autre part,

\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}

Donc

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} 

D’après la réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que les (DE) et (BC) sont parallèles.

Exercice 4

Enoncé

On sait que AD = 4 cm, AB = 10 cm, AE = 5 cm et AC = 8 cm. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?

Corrigé

On a, d’une part :

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}

D’autre part,

\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{8} 

Donc

\dfrac{AD}{AB} \neq \dfrac{AE}{AC} 

D’après la conséquence du théorème de Thalès, on peut conclure que les (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.