Il existe une formule pour calculer la dérivée d’une fonction réciproque assez simplement, et des conditions de l’existence de cette dérivée, c’est ce que nous allons voir dans cet article. Nous allons aussi faire des applications classiques consistant à calculer des dérivées de fonctions usuelles.
Prérequis
La formule de calcul de la dérivée d’une fonction réciproque
Soit f : I \to \R une fonction continue, dérivable et strictement monotone. On suppose que sa dérivée ne s’annule pas sur I , alors sa réciproque est dérivable sur J = f(I) avec la formule suivante
(f^{-1})'= \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}Démonstration de la formule
Soit y_0 \in J tel que f'(f^{-1}(y_0)) \neq 0 . Etudions le taux d’accroissement \dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} et déterminons sa limite.
On pose x = f^{-1}(y), x_0 = f^{-1}(y_0). On a alors le quotient suivant :
\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}C’est un taux d’accroissement dont on sait que la limite quand x tend vers x_0 donne \dfrac{1}{f'(x_0)}. Or, x_0 = f^{-1}(y_0). On a ainsi :
\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}Conclusion, c’est valable pour tout y \in J :
\forall y \in J, (f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}Exercices corrigés
Exercice 1 : Calcul de la dérivée du logarithme en tant que réciproque de l’exponentielle
On considère f : \left\{ \begin{array}{ll}\R \to \R_+^* \\ x \mapsto e^x \end{array} \right. . Calculons la dérivée de sa réciproque, autrement dit, la dérivée du logarithme népérien.
On a f^{-1}(x) = \ln(x) . De plus, on a f'(x) > 0 , dérivée qui ne s’annule pas. En appliquant la formule on a donc :
(f^{-1})'(x)= \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}(x)} = \dfrac{1}{\exp(ln(x))}= \dfrac{1}{x}On retrouve donc bien la fonction inverse, qui est la dérivée du logarithme népérien.
Exercice 2 : Calcul des dérivées de arccos, arcsin et arctan
Pour calculer ces dérivées, il faut utiliser le fait que \arccos est la réciproque de \cos , \arcsin est la réciproque de \sin et que \arctan est la réciproque de \tan .
Arccos : On pose f définie par f(x) = \cos(x). On a f^{-1}(x) = \arccos (x) et f'(x) = - \sin(x) . On va se placer là où la dérivée ne s’annule pas. Par exemple sur I = ] - \pi; \pi [ . On peut donc en déduire :
\arccos'(x) = \dfrac{1}{-\sin(\arccos(x))} = - \dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2((\arccos(x))}} = - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} Arcsin : On pose f définie par f(x) = \sin(x). On a f^{-1}(x) = \arcsin (x) et f'(x) = \cos(x) . On va se placer là où la dérivée ne s’annule pas. Par exemple sur I = \left] - \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right[ . On peut donc en déduire :
\arcsin'(x) = \dfrac{1}{\cos(\arcsin(x))} = \dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2((\arccos(x))}} = - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} Arctan : On pose f définie par f(x) = \tan(x). On a f^{-1}(x) = \arctan (x) et f'(x) = 1 + \tan^2(x) . On va se placer là où la dérivée ne s’annule pas. Par exemple sur I = \left] - \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right[ . On peut donc en déduire :
\arctan'(x) = \dfrac{1}{1+\tan^2(\arctan(x))} = \dfrac{1}{1+x^2}Exercice 3
Enoncé : Soit f : \R \to \R définie par f(x) = xe^x
- Démontrer que f induit une bijection h de [-1, + \infty[ vers [-e^{-1}, + \infty[
- On note W l’application réciproque de h . Justifier que W est dérivable sur ] e^{-1}, + \infty et vérifier que pour x \neq 0, W'(x) = \dfrac{W(x)}{x(1+W(x))}
Point culture mathématique : W s’appelle la fonction W de Lambert.
Corrigé : Question 1 : f est dérivable et sa dérivée vaut f'(x) = xe^x + e^x = (x+1)e^x . Cette dérivée est strictement positive sur ]-1, +\infty[ . Elle est donc strictement croissante sur [-1, +\infty[ . On a f(-1) = -e^{-1} et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.
Elle induit donc une bijection W sur [-1, +\infty[ vers [-e^{-1} , +\infty[
Question 2 : On sait que h'(x) > 0 sur ]-1, +\infty[ . Sa réciproque W est donc dérivable sur ]-e^{-1} , +\infty. On utilise la formule du calcul de la réciproque :
\begin{array}{ll}
W'(x) &= \dfrac{1}{h'(W(x))} \\
&= \dfrac{1}{(W(x)+1)e^{W(x)}} \\
&=\dfrac{W(x)}{(W(x)+1)W(x)e^{W(x)}} \\
&= \dfrac{W(x)}{x(W(x)+1)}
\end{array}Ce qui est le résultat qu’on cherchait à obtenir.
