Cette page a pour but de présenter les relations d’équivalence à l’aide d’une partie cours et d’une partie exercices corrigés.
Cours
Définition
Une relation R sur un ensemble E est une relation d’équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété :
- Réflexivité : Pour tout de x de E, xRx
- Symétrie : Pour tout (x,y) de E, si xRy alors yRx
- Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz
Exemple
On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des réels par
x\mathcal R y \iff |x|=|y|
Elle est bien réflexive : il est tautologique d’écrire
|x| = |x| \Rightarrow x\mathcal R x
De plus,
|x|=|y| \iff |y|=|x|
Ce qui fait qu’on en déduit
x \mathcal R y \iff y \mathcal R x
Donc elle est bien symétrique
De plus, elle est bien transitive : Si |x|=|y| et |y| = |z| alors |x|=|y|=|z|. Donc, on a bien
x\mathcal R y \text{ et } y\mathcal R z \Rightarrow x \mathcal R z Classe d’équivalence
Définition
Pour les relations d’équivalence, on a une notion de classe, elle se définit comme suit. Soit E un ensemble, R une relation d’équivalence et a un élément de E. On définit la classe de a par
Cl(a) = \{ x \in E, a\mathcal Rx\}Propriété
On a la propriété suivante :
x \mathcal R y \iff Cl(x) = Cl(y)
Exemple
Prenons la relation d’équivalence définie plus haut. Soit x un réel, sa classe d’équivalence est alors :
Cl(x) = \{y \in \mathbb{R}, |x|=|y|\}= \{\pm x\}Exercices
Pour les exercices, allez plutôt voir notre page dédiée :
Exercices corrigés
Exercice 900
Question 1
- La relation est bien réflexive : O, M, M ne représentent que deux points et sont donc nécessairement alignés
- Elle est symétrique : Si O, M, N sont alignés alors O, N, M aussi, l’ordre n’ayant pas d’importance
- Et cette relation est transitive : Si O, M, N sont alignés et O, N, P aussi alors O, M, N, P sont alignés donc O, M, P aussi
Question 2
Repartons de la définition. Soit M un point du plan qui n’est pas l’origine :
Cl(M) = \{N \in P \backslash O, O,M,N \text{ alignés}\}Par définition, il s’agit de la droite (OM).
Exercice 901
Question 1
La relation est bien réflexive :
X \cap A = X \cap A
Elle est symétrique :
\text{Si } X \cap A =Y\cap A \text{ alors } Y\cap A= X \cap AEt elle est bien transitive : Si
X \cap A =Y\cap A
Et
Y \cap A =Z\cap A
Alors
X \cap A =Y\cap A = Z \cap A
Question 2
Utilisations la définition :
Cl(\emptyset) = \{ X \subset E, X \cap A = \emptyset \}=\{X \in E, X \subset X \backslash A \}C’est donc l’ensemble des sous-ensembles qui ne contiennent aucun élément de A.
Passons à A :
Cl(A) = \{ X \subset E, X \cap A =A\cap A= A \}=\{X \in E, A \subset X \}C’est donc l’ensemble des sous-ensembles contenant A.
Et maintenant E. Comme E est inclus dans la classe de A, en utilisant la propriété sur les classes, on obtient directement :
Cl(E) = \{ X \subset E, X \cap A =E\cap A= A \} = Cl(A)Question 3
Soit X un sous-ensemble de E. On sait que
Cl(X) = \{Y \subset E, Y \cap A= X\cap A\}Si on pose
Z = X\cap A
On a
Z \subset A
C’est donc un représentant de X inclus dans A. Montrons qu’il est unique. Si Z et Z’ sont deux représentants de X inclus dans A, on a :
Z = Z\cap A = X \cap A = Z' \cap A = Z'
Donc le représentant est bien unique.
Question 4
Utilisons la question précédente : Pour chaque classe, on a un unique représentant qui est inclus dans A. On a donc autant de classes que de sous-ensembles de A, c’est à dire 2k
