Relation d’équivalence : Cours et exercices corrigés

Cette page a pour but de présenter les relations d’équivalence à l’aide d’une partie cours et d’une partie exercices corrigés.

Cours

Définition

Une relation R sur un ensemble E est une relation d’équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété :

• Réflexivité : Pour tout de x de E, xRx
• Symétrie : Pour tout (x,y) de E, si xRy alors yRx
• Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz

Exemple

On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des réels par

x\mathcal R y \iff |x|=|y|

Elle est bien réflexive : il est tautologique d’écrire

|x| = |x| \Rightarrow  x\mathcal R x

De plus,

|x|=|y| \iff |y|=|x|

Ce qui fait qu’on en déduit

x \mathcal R y \iff y \mathcal R x

Donc elle est bien symétrique
De plus, elle est bien transitive : Si |x|=|y| et |y| = |z| alors |x|=|y|=|z|. Donc, on a bien

x\mathcal R y \text{ et } y\mathcal R z \Rightarrow x \mathcal R z 

Classe d’équivalence

Définition

Pour les relations d’équivalence, on a une notion de classe, elle se définit comme suit. Soit E un ensemble, R une relation d’équivalence et a un élément de E. On définit la classe de a par

Cl(a) = \{ x \in E, a\mathcal Rx\}

Propriété

On a la propriété suivante :

x \mathcal R y \iff Cl(x) = Cl(y)

Exemple

Prenons la relation d’équivalence définie plus haut. Soit x un réel, sa classe d’équivalence est alors :

Cl(x) = \{y \in \mathbb{R}, |x|=|y|\}= \{\pm x\}

Exercices

Pour les exercices, allez plutôt voir notre page dédiée :

Exercices corrigés

Exercice 900

Question 1

• La relation est bien réflexive : O, M, M ne représentent que deux points et sont donc nécessairement alignés
• Elle est symétrique : Si O, M, N sont alignés alors O, N, M aussi, l’ordre n’ayant pas d’importance
• Et cette relation est transitive : Si O, M, N sont alignés et O, N, P aussi alors O, M, N, P sont alignés donc O, M, P aussi

Question 2

Repartons de la définition. Soit M un point du plan qui n’est pas l’origine :

Cl(M) = \{N \in P \backslash O, O,M,N \text{ alignés}\}

Par définition, il s’agit de la droite (OM).

Exercice 901

Question 1

La relation est bien réflexive :

X \cap A = X \cap A

Elle est symétrique :

\text{Si } X \cap A =Y\cap A \text{ alors } Y\cap A= X \cap A

Et elle est bien transitive : Si

X \cap A =Y\cap A

Et

Y \cap A =Z\cap A

Alors

X \cap A =Y\cap A = Z \cap A

Question 2

Utilisations la définition :

Cl(\emptyset) = \{ X \subset E, X \cap A = \emptyset \}=\{X \in E, X \subset X \backslash A \}

C’est donc l’ensemble des sous-ensembles qui ne contiennent aucun élément de A.
Passons à A :

Cl(A) = \{ X \subset E, X \cap A =A\cap A= A \}=\{X \in E, A \subset X \}

C’est donc l’ensemble des sous-ensembles contenant A.
Et maintenant E. Comme E est inclus dans la classe de A, en utilisant la propriété sur les classes, on obtient directement :

Cl(E) = \{ X \subset E, X \cap A =E\cap A= A \} = Cl(A)

Question 3

Soit X un sous-ensemble de E. On sait que

Cl(X) = \{Y \subset E, Y \cap A= X\cap A\}

Si on pose

Z = X\cap A

On a

Z  \subset A

C’est donc un représentant de X inclus dans A. Montrons qu’il est unique. Si Z et Z’ sont deux représentants de X inclus dans A, on a :

Z = Z\cap A = X \cap A = Z' \cap A = Z'

Donc le représentant est bien unique.

Question 4

Utilisons la question précédente : Pour chaque classe, on a un unique représentant qui est inclus dans A. On a donc autant de classes que de sous-ensembles de A, c’est à dire 2^k