Conversions d’unités : Tableaux

Convertir un mètre cube en litres, des pouces en centimètres, des km en mètre ou des mètres carrés en hectares ? Ce sont des situations plus courantes qu’on ne l’imagine dans l’univers professionnel ou pour des besoins personnels. Acheter un vêtement, par exemple nécessite souvent de connaître sa taille dans les standards du pays, rarement en centimètres. Acheter un terrain demande de comprendre les différences entre hectares et mètres carrés. Enfin, mesurer la taille d’un écran en pouce ou lire un patron de couture peut nécessiter de convertir les tailles en centimètres. C’est pour ces raisons que les conversions sont omniprésentes dans les exercices de maths et de physique.

Présentation des grandeurs du Système International

D’où viennent les différentes unités de mesure et à quoi servent-elles ? Selon le Système International d’Unités (SI), on a parmi les 7 unités de base : le temps, la longueur (que l’on se représente facilement en plusieurs dimensions), la température et la masse.

Définitions de base

Nous utiliserons les définitions du SI et nous présenterons ensuite les différentes variantes des grandeurs. Dans l’essentiel des problèmes en sciences, ce sont ces unités qui sont utilisées dans les différentes formules. Il convient souvent alors de convertir les données du problème avant d’appliquer les fonctions.

Préfixes des unités

A l’école primaire, déjà on nous apprenait à décomposer un nombre en chiffres en identifiant les unités, les dizaines, les dixième, les centaines, les centièmes etc… Et bien il existe une nomenclature afin de distinguer et les ordres de grandeur des mesures. Nous le faisons au quotidiens en utilisant les préfixes du SI.

Dans les problèmes usuels et du quotidien, connaître de nano à Giga constitue déjà une bonne base :).

Et on peut même aller jusqu’à 10¹⁰⁰, c’est le Gogol. Cela ne vous rappelle pas quelque chose ? 😉

Mesurer le temps

Dans le Système International

La mesure du temps fait partie des exceptions du SI. En effet, le SI est construit autour du système décimal (qui signifie en puissance de 10). Cela veut dire qu’entre chaque ordre de grande, on peut diviser par 10 facilement. Or, le temps n’est pas également divisé en tranches de 10. Par exemple : 1 heure compte 60 minutes et 1 jour compte 24 heures. Dans le cas des mesures du SI conçues en puissance de 10, on a la longueur : 1 mètre = 100 cm et 1 kilomètre = 1000 m.

Exercice : Combien y a-t-il de secondes dans 7 mois, 3 semaines, 17 heures et 23 minutes ?Inversement, combien y a-t-il de jours dans 4 mois, 4 semaines et 324 heures ?

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Mesurer les distances et l’espace

Les distances usuelles (1 dimension)

Combien fait 1 cm en m ? Si vous avez suivi l’introduction : 1 centimètre fait 0,01 mètre.

Voici quelques conversions d’autres systèmes usuels dans le système métrique.

Exercice : les zones économiques exclusives (ZEE) sont un espace maritime sur lequel un État côtier peut exploiter les ressources maritimes de manière souveraine et exclusive. Elles s’étendent à partir de la frontière naturelle (terres) de l’État jusqu’à 200 milles marins de ses côtes au maximum, au-delà il s’agit des eaux internationales. A quelle distance des côtes, en kilomètres, se situent les eaux internationales ?

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Les surfaces (distances en 2 dimensions)

Rappel : que signifie le carré ou une surface ? C’est tout simplement la mesure de l’aire d’une figure. L’exemple le plus simple est celui du carré qui a tous ses côtés égaux. La surface est :

\begin{array}{l}Aire\ =\ côté\ \cdot \ côté\\
\text{Si }côté\ =\ 3\\
Aire\ =\ 3\cdot 3\ =\ 9\ =\ 3^2\end{array}

La conséquence de ceci est que si l’on change l’unité de mesure, l’on change de facto de puissance de 10. Or les puissances de 10 se multipliant entre elles, il est nécessaire de faire attention au nombre de 0 qui varie plus fortement lors des conversion. Reprenons notre exemple. Notre carré fait en réalité 3m de côté. Soit 300 cm. Nous avions trouvé 9 m². Si nous cherchons désormais l’aire en centimètres carrés, devons nous multiplier tout simplement 9 par 100 ? Erreur. En voici la preuve :

\begin{array}{l}Aire\ =\ côté\ \cdot \ côté\\
Si\ côté\ =\ 3m\ =\ 300cm\\
Aire\ =\ 300\cdot 300\ =\ 90\ 000\ =\ 300^2\\
On\ a\ 3m=300cm\\
Mais\ 9m^2=90\ 000cm^2\ \ne 900cm^2\end{array}

Voici donc un petit tableau de conversion des unités élevées au carré entre elles.

Convertir 1 hectare en m²

Comme dans les longueurs en une dimension, il existe d’autres standards pour mesurer les superficies. Nous donnerons un exemple courant en France, les ares ! La définition d’un are est un carré de 10 mètres de côté 100 mètres carrés. Un hectare est donc un carré de 100 mètres de côtés soit 10 000 mètres carrés (m²).

Exercice : Un agriculteur a 8 terrains de 43 hectares chacun. Il souhaite acheter un terrain de 1,157 km². Problème, s’il dépasse les 50 000 ares de surface, il paiera beaucoup plus d’impôts en proportion et perdra de nombreux avantages liés à la taille de son exploitation. Conseillez-vous à cet agriculteur d’acheter ce terrain ?

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Les volumes (distances en 3 dimensions)

Rappel : que signifie le volume ? C’est la surface poussée sur la hauteur d’une figure, elle est donc en 3 dimensions et limitée par ses surfaces. Reprenons l’exemple précédent d’un carré. En trois dimensions, un carré est appelé un cube.

Le volume d’un cube est :

\begin{array}{l}Volume\ =\ côté\cdot côté\cdot côté = côté^3\\
Volume\ =\ Aire\cdot côté\end{array}

C’est bien l’aire du carré que l’on “pousse” ou “étire” sur la hauteur du cube, qui nous donne son volume. Prenons l’exemple d’un millimètre cube. Pour savoir combien contient un mètre cube en millimètres cube, il faut se représenter un tout petit cube dans un plus gros. Comme la mesure du petit cube est déjà en dimension 3, pour trouver combien il y en a dans le grand, il faut reporter le nombre de petit cube sur une dimension et l’élever au cube.

\begin{array}{l}Dans\ 1m^3,\ on\ cherche\ le\ nombre\ de\ mm^3\\
\text{Sur une longueur du cube, on compte 1 000 petits cubes de longueur 1mm.}\\
Donc\ 1m^3=1000^3\cdot 1mm^3\\
Soit\ 1m^3=\left(10^3\right)^3\cdot 1mm^3\\
\Leftrightarrow \ 1m^3=10^{3\cdot 3}\cdot 1mm^3\\
\Leftrightarrow \ 1m^3=10^9mm^3\end{array}

Pour convertir ensuite en kilomètre cube il faut avoir le raisonnement suivant.

\begin{array}{l}\text{Dans } 1km^3,\ on\ cherche\ le\ nombre\ de\ mm^3\\
\text{Sur une longueur du cube, on compte 1 000 cube de longueur 1m}\\
\text{Donc } 1km^3=1000^3\cdot 1m^3\\
\text{Or on sait que } 1m^3=10^9mm^3\text{, on remplace ce résultat.}\\
\text{Soit } 1km^3=\left(10^3\right)^3\cdot 10^9mm^3\\
\iff 1km^3=10^{3\cdot 3}\cdot 10^9mm^3\\
\iff 1km^3=10^9\cdot 10^9mm^3\\
\iff 1km^3=10^{9+9}mm^3\\
\iff 1km^3=10^{18}mm^3\end{array}

La conversion la plus courante dans les différents systèmes de mesures des volumes est le litre en m³. Le litre est initialement défini par le Bureau international des poids et mesures comme “le volume occupé par la masse de 1 kilogramme d’eau pure, à son maximum de densité et sous la pression atmosphérique normale” (source). En bref, au niveau de la mer et sous des températures normales, 1 kg d’eau pure prend le volume d’un litre. Cette évaluation physique donne lieu à une légère imprécision. Donc on le définit désormais comme l’équivalent d’un décimètre cube. Un litre se note 1L.

Exercice : Nous souhaitons remplir une baignoire de 150L, nous disposons d’un contenant cubique pour la remplir. Ce contenant mesure 30cm de côté. Combien de fois sera-t-il nécessaire de mettre de l’eau dans cette baignoire à l’aide de ce contenant, pour obtenir 150L ?

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Le cas des Litres

Autre utilisation : les contenants dans la vie quotidienne. Combien de mL fait un récipient de 10cL ? La réponse est 100 mL. Le fameux verre de 25 cL ? Il fait 250 mL ! La fameuse bouteille de 50 cL ? Vous l’aurez compris : 500 mL, soit 1/2 L. Voici un tableau résumant ces conversions :

Mesurer la masse

Masse et volume sont étroitement liés. Il existe de nombreuses unités de masse en raison des coutumes des différentes régions du monde et de la variété de choses commercées. Les exemples les plus courants sont le quintal (environ 100kg), la livre (453,592 37g) ou encore les barils (159L & 131,62 kg). L’unité de mesure dans le SI en le kilogramme et non le gramme.

Voici un tableau de conversion en litres et unités usuelles.

On remarque que de nombreuses unités correspondent à des ordres de grandeur distincts. La livre approximent les choses assez légère (de l’ordre du kg). Le baril et le quintal permettent de compter les objets ou masse d’objets volumineux, très utile pour le commerce de gros et dans l’agriculture. Pour les tout petits poids, l’histoire a privilégié l’utilisation des volumes. C’est typiquement le cas des “cuillères à café”.

Exercice : Au XVIIe siècle, un commerçant français souhaite exporter au Canada des tissus de grande qualité sur une de ses frégates. Il achète en Europe 738 barils de matières premières, pour un coût de 11 Francs par barils. La transformation implique une perte de masse de 2%. le commerçant trouve un acheteur canadien prêt à lui payer 8,7 Francs pour un quintal de tissus, s’il achète tout le stock. Nôtre commerçant français a-t-il intérêt à exporter ses tissus dans ces conditions ?

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Mesurer la température

Contrairement aux autres grandeurs, commençons par un petit meme, illustrant la singularité de la mesure de la température.

Il est facile d’appréhender physiquement 0 cm, 0 m ou 0 kg. Cela veut simplement dire “rien”, pas de longueur ni de masse. Qu’en est-il du 0 en température ? Comment compter 0°, 10° ou même 100° ? La température en physique moderne, c’est la mesure de l’agitation cinétique de la matière. Mais avant ça, il était tentant de dire qu’il s’agissait du ressenti, donc des sensations de chaud ou de froid. Placer le 0 et choisir l’échelle 100 est donc très très subjectif et sujet à divergences…

La mesure générale en physique et admise dans le SI est le Kelvin, noté K et ne comprend pas le symbole degré (°). Il existe 7 autres mesures : le Celsius (°C), le Fahrenheit (°F), le Rankine (°Ra), le Réaumur (°R), le Newton (°N), le Romer (°Ro) et le Delisle (°D).

En France, l’unité utilisée est le degré Celsius. 0°C correspond à la température de fusion de l’eau au niveau de la mer (conditions de pression atmosphérique normales). Le 100°C correspond à la température d’ébullition de l’eau au niveau de la mer (conditions de pression atmosphérique normales). Le zéro absolu (noté 0 Kelvin), vaut -273,15°C. La physique ne donne pas de réponse claire à ce qu’est une température négative (puisqu’il s’agît “d’agitation de la matière”).

Voilà un tableau de conversion des 3 unités usuelles.

Formule de conversion Kelvin – °Celsius

L ‘intervalle de température du Kelvin est équivalent à celui du °C, à une constante près :

T\left(°C\right)=T\left(K\right)-273,15

Formule de conversion °Celsius – °Fahrenheit

\begin{array}{l}T\left(°C\right)=\frac{T\left(°F\right)-32}{1,8}\\
T\left(°F\right)=T\left(°C\right)\cdot 1,8+32\end{array}

Exercice : Lors d’une journée ensoleillée, le thermomètre extérieur affiche 31,6°C. Une heure plus tard, lors d’une promenade, je lis sur le panneau luminescent d’une pharmacie 44,88°. Pourtant, j’ai l’impression qu’il fait moins chaud, mais je n’ai pas froid en t-shirt. La température affichée était-elle en °Celsius, Kelvin ou °Fahrenheit ? La température a-t-elle augmentée, baissée et de combien (donner le résultat en Kelvin).

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Quand il n’y en a plus, il y en a encore !
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