Le calcul des décimales de \pi est une question qui occupe les mathématiciens depuis des siècles. Grâce à l’avènement de l’informatique, cela devient de plus en plus simple de calculer ces décimales et on va toujours plus loin dans le calcul.
Cet article, qui peut être une bonne idée de sujet de grand oral en terminale, présente quelques méthodes de calcul.
Prérequis
- Vous devriez connaitre l’histoire de \pi
- Le calcul informatique des décimales est important pour ce sujet
La formule de Plouffe
Le mathématicien Simon Plouffe a écrit en 1996 cette formule qui permet de calculer la n-ième décimale de Pi avec une complexité en O (n^3 \log(n)^2 ) . La formule est la suivante :
\pi = - 3 + \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n2^nn!^2}{(2n)!}Fabrice Bellard a amélioré le temps de calcul à O(n^2) grâce à la formule suivante
\begin{array}{ll}\pi = \displaystyle \dfrac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2^{10n}}\left( -\dfrac{2^5}{4n+1}-\dfrac{1}{4n+3}+\dfrac{2^8}{10n+1}-\right. \\
\left. \dfrac{2^6}{10n+3}-\dfrac{2^2}{10n+5}-\dfrac{2^2}{10n+7}+\dfrac{1}{10n+9}\right)
\end{array}La formule est plus longue à écrire mais plus facile à calculer pour l’ordinateur
Avec la fonction Arctan
La fonction arctan est la réciproque de la fonction tangente. On utilise celle-ci pour calculer les décimales de Pi, car on peut la développer en séries entières (pour les terminales : on écrit arctan comme une somme infinie) sous la forme :
\arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-x)^n}{2n+1}Or, le cours sur arctan nous dit que \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4}. Ainsi,
\arctan(1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1} = \dfrac{\pi}{4}En multipliant tout par 4, on obtient
\pi = 4\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1} = \dfrac{4}{1}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{7 }+\ldotsC’est ce qu’on appelle une série alternée et je vous invite à aller voir le cours à ce sujet. Si on prend n termes, l’erreur par rapport à la somme infinie est majorée par le terme n+1. On a donc, en prenant les termes de 0 à N :
\left|\pi - 4\sum_{n=0}^{N} \dfrac{(-1)^n}{2n+1}\right| \leq \dfrac{1}{2N+3}Et donc, si on veut n chiffres après la virgule, il faut donc une erreur inférieur ou égale à \dfrac{1}{10^n}. Soit pour N :
\begin{array}{ll}
&\dfrac{1}{2N+3}\leq \dfrac{1}{10^n} \\
\iff &2N+3 \geq 10^n \\
\iff & 2N \geq 10^n-3 \\
\iff & N \geq \dfrac{10^n-3}{2} \\
\end{array}Il faut donc calculer énormément de termes pour calculer n décimales. Cette méthode est beaucoup efficace que celle de Plouffe.
La méthode de Buffon
Nous vous l’avions présentée précédemment, l’aiguille de Buffon permet d’approximer \pi. Mais cette méthode n’est pas très précise. Cependant, cela peut être intéressant à présenter si vous préparez le grand oral.
La formule de Wallis
La formule de Wallis nous donne une autre formule pour \pi . En calculant les premiers termes, vous aurez une bonne approximation. Voici la formule en question :
\pi = 2 \prod_{n=1}^{+\infty} \dfrac{4n^2}{4n^2-1}En fait, sa convergence est très lente. Ce n’est que le vers le 1000ème terme que vous obtiendrez les deux premiers chiffres après la virgule. Mais cette formule date de 1655, et c’est le premier produit infini recensé pour \pi .
Les formules de Ramanujan
Les formules de Ramanujan sont célèbres de par leur forme tout à fait exceptionnelle. Voici un exemple :
\pi = \dfrac{9801}{2\sqrt{2}}\left(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4396^{4n}}\right)^{-1}Avec cette formule, calculer un terme permet d’obtenir 8 décimales. Cette formule date de 1910.
David Chudnovsky et les frères Gregory ont fait mieux en 1994 avec cette formule qui permet de calculer 14 décimales avec chaque terme :
\pi = \left( 12\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n(6n)!(13591409+545140134n)}{(3n)!(n!)^3(640320)^{3n+\frac{3}{2}}} \right)^{-1}Pour conclure, vous avez donc fait un tour d’horizon des différentes décimales permettant de calculer \pi , avec toutes ces méthodes, il y a de quoi présenter de nombreux éléments !
