Convertir un mètre cube en litres, des pouces en centimètres, des km en mètre ou des mètres carrés en hectares ? Ce sont des situations plus courantes qu’on ne l’imagine dans l’univers professionnel ou pour des besoins personnels. Acheter un vêtement, par exemple nécessite souvent de connaître sa taille dans les standards du pays, rarement en centimètres. Acheter un terrain demande de comprendre les différences entre hectares et mètres carrés. Enfin, mesurer la taille d’un écran en pouce ou lire un patron de couture peut nécessiter de convertir les tailles en centimètres. C’est pour ces raisons que les conversions sont omniprésentes dans les exercices de maths et de physique.

Présentation des grandeurs du Système International

D’où viennent les différentes unités de mesure et à quoi servent-elles ? Selon le Système International d’Unités (SI), on a parmi les 7 unités de base : le temps, la longueur (que l’on se représente facilement en plusieurs dimensions), la température et la masse.

Définitions de base

Nous utiliserons les définitions du SI et nous présenterons ensuite les différentes variantes des grandeurs. Dans l’essentiel des problèmes en sciences, ce sont ces unités qui sont utilisées dans les différentes formules. Il convient souvent alors de convertir les données du problème avant d’appliquer les fonctions.

GrandeurSymboleUnité SISymbole associé à l’unité
Massemkilogrammekg
Tempstsecondes
Longueurl, x, r…mètrem
TempératureTKelvinK

Préfixes des unités

A l’école primaire, déjà on nous apprenait à décomposer un nombre en chiffres en identifiant les unités, les dizaines, les dixième, les centaines, les centièmes etc… Et bien il existe une nomenclature afin de distinguer et les ordres de grandeur des mesures. Nous le faisons au quotidiens en utilisant les préfixes du SI.

Dans les problèmes usuels et du quotidien, connaître de nano à Giga constitue déjà une bonne base :).

10nPréfixeSymboleNombreNom
1024YottaY1 000 000 000 000 000 000 000 000Quadrillion
1021 ZettaZ1 000 000 000 000 000 000 000Trilliard
1018 ExaE1 000 000 000 000 000 000 Trillion
1015 PétaP1 000 000 000 000 000Billiard
1012 TéraT1 000 000 000 000Billion
109 GigaG1 000 000 000Milliard
106 MégaM1 000 000Million
103 Kilok1 000Millier
102 Hectoh100Centaine
101Década10Dizaine
100 – (unité)1Unité
10-1 décid0,1dixième
10-2centic0,01centième
10-3 millim0,001millième
10-6 microµ0,000 001 millionième
10-9 nanon0,000 000 001milliardième
10-12 picop0,000 000 000 001billionième
10-15 femtof0,000 000 000 000 001billiardième
10-18 attoa0,000 000 000 000 000 001 trillionième
10-21 zeptoz0,000 000 000 000 000 000 001trilliardième
10-24 yoctoy0,000 000 000 000 000 000 000 001 quadrillionième

Et on peut même aller jusqu’à 10100, c’est le Gogol. Cela ne vous rappelle pas quelque chose ? 😉

Mesurer le temps

Dans le SI

La mesure du temps fait partie des exceptions du SI. En effet, le SI est construit autour du système décimal (qui signifie en puissance de 10). Cela veut dire qu’entre chaque ordre de grande, on peut diviser par 10 facilement. Or, le temps n’est pas également divisé en tranches de 10. Par exemple : 1 heure compte 60 minutes et 1 jour compte 24 heures. Dans le cas des mesures du SI conçues en puissance de 10, on a la longueur : 1 mètre = 100 cm et 1 kilomètre = 1000 m.

Seconde (s) Minute (min)Heure (h)Jour (d)Mois (m)Année (y)
Seconde16060*60
= 3600
3600 * 24
= 86400
86400 * 30
= 2592000
3600*24*365,25
= 31557600
Minute1/60
= 0.0167
16060*24
= 1440
1440 * 30
= 43200
1440 * 365,25
= 525960
Heure1/(60*60)
= 0.000278
1/60
= 0.0167
12424*30
= 720
24*365,25
= 8766
Jour1/(24*3600)1/(24*60)1/241365,25/12365,25
Mois1/(30*24*3600)1/(30*24*60) 1/(30*24)1/30112
Année 1/
(365,25*24*3600)
1/(365,25*24*60)1/(365,25*24)1/365,251/121
Lecture du tableau première ligne : Il y a une seconde dans une seconde, une minute représente 60 secondes, et une heure représente 3600 secondes.
Lecture du tableau troisième ligne : une seconde représente 1/3600 heure et un jour représente 24 heures.
Lecture colonne Jour : Il y a 86 400 secondes dans un jour et 1/30ème de mois dans un jour. Il y a aussi 1/365,25 année dans une journée.

Exercice : Combien y a-t-il de secondes dans 7 mois, 3 semaines, 17 heures et 23 minutes ?Inversement, combien y a-t-il de jours dans 4 mois, 4 semaines et 324 heures ?

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Mesurer les distances et l’espace

Les distances usuelles (1 dimension)

UnitéSymbole SI et préfixeConversion en mètres
mégamètreMm1 000 000
kilomètrekm1 000
hectomètrehm100
décamètredam10
mètrem1
décimètredm0,1
centimètrecm0,01
millimètremm0,001
micromètreµm0,000 001

Voici quelques conversions d’autres systèmes usuels dans le système métrique.

Système anglaisSystème métrique (SI)
1 pouce (inch)2,54 cm
1 pied (foot)30,49 cm
1 verge (3 pieds / yard)1,09 mètres
1 mille terrestre (mile)1 610 mètres soit 1,61 km
1 lieue (league)4 831 mètres soit 4,83 km
Unité nautique Système métrique (SI)
1 mille nautique1 852 mètres soit 1,85 km

Exercice : les zones économiques exclusives (ZEE) sont un espace maritime sur lequel un État côtier peut exploiter les ressources maritimes de manière souveraine et exclusive. Elles s’étendent à partir de la frontière naturelle (terres) de l’État jusqu’à 200 milles marins de ses côtes au maximum, au-delà il s’agit des eaux internationales. A quelle distance des côtes, en kilomètres, se situent les eaux internationales ?

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Les surfaces (distances en 2 dimensions)

Rappel : que signifie le carré ou une surface ? C’est tout simplement la mesure de l’aire d’une figure. L’exemple le plus simple est celui du carré qui a tous ses côtés égaux. La surface est :

\begin{array}{l}Aire\ =\ côté\ \cdot \ côté\\
Si\ côté\ =\ 3\\
Aire\ =\ 3\cdot 3\ =\ 9\ =\ 3^2\end{array}

La conséquence de ceci est que si l’on change l’unité de mesure, l’on change de facto de puissance de 10. Or les puissances de 10 se multipliant entre elles, il est nécessaire de faire attention au nombre de 0 qui varie plus fortement lors des conversion. Reprenons notre exemple. Notre carré fait en réalité 3m de côté. Soit 300 cm. Nous avions trouvé 9 m2. Si nous cherchons désormais l’aire en centimètres carrés, devons nous multiplier tout simplement 9 par 100 ? Erreur. En voici la preuve :

\begin{array}{l}Aire\ =\ côté\ \cdot \ côté\\
Si\ côté\ =\ 3m\ =\ 300cm\\
Aire\ =\ 300\cdot 300\ =\ 90\ 000\ =\ 300^2\\
On\ a\ 3m=300cm\\
Mais\ 9m^2=90\ 000cm^2\ \ne 900cm^2\end{array}

Voici donc un petit tableau de conversion des unités élevées au carré entre elles.

millimètre carrécentimètre carrémètre carrékilomètre carré
millimètre carré1 mm2 100 mm2 1 000 000 mm2 1012 mm2
centimètre carré0,01 cm2 1 cm2 10 000 cm2 1010 cm2
mètre carré1*10-6 m20,0001 m21 m2 106 m2
kilomètre carré1*10-12 km2 1*10-10 km21*10-6 km2 1 km2
Lecture du tableau première ligne : Il y a une 1 mm2 dans 1 mm2, un centimètre carré représente 100 mm2, et un kilomètre carré représente 1012 mm2.
Lecture du tableau deuxième ligne : un millimètre carré représente 0,01 cm2.

Comme dans les longueurs en une dimension, il existe d’autres standards pour mesurer les superficies. Nous donnerons un exemple courant en France, les ares ! La définition d’un are est un carré de 100 mètres carrés. Un hectare est donc un carré de 100 mètres de côtés soit 10 000 mètres carrés.

mètre carrékilomètre carréarehectare
are0,0110 0001100
hectare0,00011000,011

Exercice : Un agriculteur a 8 terrains de 43 hectares chacun. Il souhaite acheter un terrain de 1,157 km2. Problème, s’il dépasse les 50 000 ares de surface, il paiera beaucoup plus d’impôts en proportion et perdra de nombreux avantages liés à la taille de son exploitation. Conseillez-vous à cet agriculteur d’acheter ce terrain ?

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Les volumes (distances en 3 dimensions)

Rappel : que signifie le volume ? C’est la surface poussée sur la hauteur d’une figure, elle est donc en 3 dimensions et limitée par ses surfaces. Reprenons l’exemple précédent d’un carré. En trois dimensions, un carré est appelé un cube.

Cube
Exemple de cube

Le volume d’un cube est :

\begin{array}{l}Volume\ =\ côté\cdot côté\cdot côté\\
Volume\ =\ Aire\cdot côté\end{array}

C’est bien l’aire du carré que l’on « pousse » ou « étire » sur la hauteur du cube, qui nous donne son volume. Prenons l’exemple d’un millimètre cube. Pour savoir combien contient un mètre cube en millimètres cube, il faut se représenter un tout petit cube dans un plus gros. Comme la mesure du petit cube est déjà en dimension 3, pour trouver combien il y en a dans le grand, il faut reporter le nombre de petit cube sur une dimension et l’élever au cube.

\begin{array}{l}Dans\ 1m^3,\ on\ cherche\ le\ nombre\ de\ mm^3\\
Sur\ une\ longueur\ du\ cube,\ on\ compte\ 1\ 000\ petit\ cube\ de\ longueur\ 1mm.\\
Donc\ 1m^3=1000^3\cdot 1mm^3\\
Soit\ 1m^3=\left(10^3\right)^3\cdot 1mm^3\\
\Leftrightarrow \ 1m^3=10^{3\cdot 3}\cdot 1mm^3\\
\Leftrightarrow \ 1m^3=10^9mm^3\end{array}

Pour convertir ensuite en kilomètre cube il faut avoir le raisonnement suivant.

\begin{array}{l}Dans\ 1km^3,\ on\ cherche\ le\ nombre\ de\ mm^3\\
Sur\ une\ longueur\ du\ cube,\ on\ compte\ 1\ 000\ cube\ de\ longueur\ 1m.\\
Donc\ 1km^3=1000^3\cdot 1m^3\\
Or\ on\ sait\ que\ 1m^3=10^9mm^3,\ on\ remplace\ ce\ résultat.\\
Soit\ 1km^3=\left(10^3\right)^3\cdot 10^9mm^3\\
\Leftrightarrow \ 1km^3=10^{3\cdot 3}\cdot 10^9mm^3\\
\Leftrightarrow \ 1km^3=10^9\cdot 10^9mm^3\\
\Leftrightarrow \ 1km^3=10^{9+9}mm^3\\
\Leftrightarrow \ 1km^3=10^{18}mm^3\end{array}
millimètre cubecentimètre cubemètre cubekilomètre cube
millimètre cube1 mm3 1 000 mm3 109 mm3 1018 mm3
centimètre cube0,001 cm3 1 cm3 106 cm3 1015 cm3
mètre cube1*10-9 m31*10-6 m31 m3 109 m3
kilomètre cube1*10-18 km31*10-15 km31*10-9 km3 1 km3
Lecture du tableau première ligne : Il y a une 1 mm2 dans 1 mm2, un centimètre carré représente 100 mm2, et un kilomètre carré représente 1012 mm2.
Lecture du tableau deuxième ligne : un millimètre carré représente 0,01 cm2.

La conversion la plus courante dans les différents systèmes de mesures des volumes est le litre en m3. Le litre est initialement défini par le Bureau international des poids et mesures comme « le volume occupé par la masse de 1 kilogramme d’eau pure, à son maximum de densité et sous la pression atmosphérique normale » (source). En bref, au niveau de la mer et sous des températures normales, 1 kg d’eau pure prend le volume d’un litre. Cette évaluation physique donne lieu à une légère imprécision. Donc on le définit désormais comme l’équivalent d’un décimètre cube. Un litre se note 1L.

centimètre cubemètre cubekilomètre cube
1 mL11*10-61*10-15
1 L10000,0011*10-12
1000 L 10611*10-9

Exercice : Nous souhaitons remplir une baignoire de 150L, nous disposons d’un contenant cubique pour la remplir. Ce contenant mesure 30cm de côté. Combien de fois sera-t-il nécessaire de mettre de l’eau dans cette baignoire à l’aide de ce contenant, pour obtenir 150L ?

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Mesurer la masse

Masse et volume sont étroitement liés. Il existe de nombreuses unités de masse en raison des coutumes des différentes régions du monde et de la variété de choses commercées. Les exemples les plus courants sont le quintal (environ 100kg), la livre (453,592 37g) ou encore les barils (159L & 131,62 kg). L’unité de mesure dans le SI en le kilogramme et non le gramme.

mggkgt
milligramme (mg)1 mg1000 mg106 mg109 mg
gramme (g)0,001 g1 g1000 g106 g
kilogramme (kg) 10-6 kg 0,001 kg1 kg1000 kg
tonne (t) 10-9 t10-6 t0,001 t1 t

Voici un tableau de conversion en litres et unités usuelles.

mggkg
1 L106 10001
1000 L109 1061000
Un quintal108105100
Une livre anglaise453 592453,590,45359g
Un baril de 159 L103 * 131 620 131 620131,62
Une once française30 59430,5940,0306

On remarque que de nombreuses unités correspondent à des ordres de grandeur distincts. La livre approximent les choses assez légère (de l’ordre du kg). Le baril et le quintal permettent de compter les objets ou masse d’objets volumineux, très utile pour le commerce de gros et dans l’agriculture. Pour les tout petits poids, l’histoire a privilégié l’utilisation des volumes. C’est typiquement le cas des « cuillères à café ».

Exercice : Au XVIIe siècle, un commerçant français souhaite exporter au Canada des tissus de grande qualité sur une de ses frégates. Il achète en Europe 738 barils de matières premières, pour un coût de 11 Francs par barils. La transformation implique une perte de masse de 2%. le commerçant trouve un acheteur canadien prêt à lui payer 8,7 Francs pour un quintal de tissus, s’il achète tout le stock. Nôtre commerçant français a-t-il intérêt à exporter ses tissus dans ces conditions ?

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Frégate

Mesurer la température

Contrairement aux autres grandeurs, commençons par un petit meme, illustrant la singularité de la mesure de la température.

Poungs kg, inches cm handshake at 0, temperature scales can’t agree
Meme provenant du site starecat.

Il est facile d’appréhender physiquement 0 cm, 0 m ou 0 kg. Cela veut simplement dire « rien », pas de longueur ni de masse. Qu’en est-il du 0 en température ? Comment compter 0°, 10° ou même 100° ? La température en physique moderne, c’est la mesure de l’agitation cinétique de la matière. Mais avant ça, il était tentant de dire qu’il s’agissait du ressenti, donc des sensations de chaud ou de froid. Placer le 0 et choisir l’échelle 100 est donc très très subjectif et sujet à divergences…

La mesure générale en physique et admise dans le SI est le Kelvin, noté K et ne comprend pas le symbole degré (°). Il existe 7 autres mesures : le Celsius (°C), le Fahrenheit (°F), le Rankine (°Ra), le Réaumur (°R), le Newton (°N), le Romer (°Ro) et le Delisle (°D).

En France, l’unité utilisée est le degré Celsius. 0°C correspond à la température de fusion de l’eau au niveau de la mer (conditions de pression atmosphérique normales). Le 100°C correspond à la température d’ébullition de l’eau au niveau de la mer (conditions de pression atmosphérique normales). Le zéro absolu (noté 0 Kelvin), vaut -273,15°C. La physique ne donne pas de réponse claire à ce qu’est une température négative (puisqu’il s’agît « d’agitation de la matière »).

Voilà un tableau de conversion des 3 unités usuelles.

Kelvin° Celsius° Farenheit
Zéro Absolu0K-273,15°C-459,67°F
0°C (Fusion de l’eau)+273,15K0°C+32°F
100°C (Ebullition de l’eau)+373,1339K100°C+212°F

Formule de conversion Kelvin – °Celsius

\begin{array}{l}L^{\prime}intervalle\ de\ température\ du\ Kelvin\ est\ équivalent\ à\ celui\ du\ °C,\ \\
à\ une\ constante\ près\ :\\
T\left(°C\right)=T\left(K\right)-273,15\end{array}

Formule de conversion °Celsius – °Fahrenheit

\begin{array}{l}T\left(°C\right)=\frac{T\left(°F\right)-32}{1,8}\\
T\left(°F\right)=T\left(°C\right)\cdot 1,8+32\end{array}

Exercice : Lors d’une journée ensoleillée, le thermomètre extérieur affiche 31,6°C. Une heure plus tard, lors d’une promenade, je lis sur le panneau luminescent d’une pharmacie 44,88°. Pourtant, j’ai l’impression qu’il fait moins chaud, mais je n’ai pas froid en t-shirt. La température affichée était-elle en °Celsius, Kelvin ou °Fahrenheit ? La température a-t-elle augmentée, baissée et de combien (donner le résultat en Kelvin).

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Quand il n’y en a plus, il y en a encore !
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8 thoughts on “ Conversions d’unités : Tableaux ”

  1. Corrigé Exercice 1 sur le Temps :
    a) Il y a 20 285 580 secondes ! Calcul : 23*60 + 17*3600 + 3*7*24*3600 + 7/12*365,25*24*3600
    b) Environ 150 jours ! Calcul : 34/24 + 4*7 + 4/12*325,25

  2. Corrigé Exercice 2 sur les distances (1 dimension):
    Les eaux internationales commencent au plus tard à 370,4 km des côtes des pays. Calcul : 200 *1,852 km

  3. Corrigé Exercice 3 sur les distances (2 dimensions):
    L’agriculteur peut acheter le terrain car la surface totale de son exploitation restera en dessous des 500 hectares. En effet, le terrain de 1,157 km^2 correspond à 115,7 hectares (1,157*100 d’après le tableau de conversion en km^2). Or, il a déjà 8 grandes parcelles de 43 hectares. Donc 8*43+115,7 = 459,7 hectares < 500 hectares.

  4. Corrigé Exercice 4 sur les volumes :
    Deux façons simples pour répondre à ce problème.
    Convertir la baignoire en cm^3 ou cherche le volume en litre du contenant.

    Option 1 : La baignoire fait 150L, or dans un litre il y a 1000 cm^3. Donc la baignoire fait 150*1000 = 150 000cm^3. Notre contenant carré fait 30*30*30 = 27 000 cm^3. Il suffit de faire 150000/27000 = 5,56 => 6 fois, il faut mettre de l’eau 6 fois au moins pour remplir cette baignoire.

    Option 2 : Le contenant fait donc 27 000cm^3. Dans un litre on a 1000cm^3. Donc 27 000/1 000 = 27 Litres. Or la baignoire fait 150 Litres. On fait 150/27 = 5,56 => 6 fois, il faut mettre de l’eau 6 fois au moins pour remplir cette baignoire.

  5. Corrigé Exercice 5 sur la masse :
    Dans cet exercice, il est conseillé de passer par les unités communes : le kilogramme.
    La question demande s’il est intéressant de procéder à l’échange. C’est le cas si et seulement si, les coûts subis par notre commerçant est inférieur aux recettes escomptées (vente).

    Cherchons d’abord ce que ses matières premières coûtent.
    738 barils * 11 Francs = 8 118 Francs.

    Pour connaître ce que cela lui rapporte, nous devons convertir les barils en quintaux et tenir compte de la perte de masse, en premier lieu.
    Perte de masse = 2%, donc il reste 738*0,98 = 723,24 barils après transformation.
    Conversion en kilogramme pour faciliter les calculs : 723,24*131,62 kg = 95 192,8488 kg

    Le canadien propose un prix fixe par quintal que s’il achète tout le stock, qui est donc de 95 192,8488 kg.
    Conversion du stock en quintaux : 95192,8488/100 = 951,93 quintaux.
    Le canadien en propose 8,7 Francs.
    On peut donc connaître le prix de la vente :
    8,7*951,93 = 8 281,78 Francs.
    Or 8281,78 Francs > 8118 Francs. Donc les recettes couvrent les dépenses, le commerçant a intérêt à échanger avec le canadien.

  6. Corrigé Exercice 6 sur la Température :

    Nous savons que nous avons moins chaud, donc il est peu probable que la température soit en celsius. Passer de 31°C à 44°C ne semble pas coller avec cette sensation. Mais nous disons que nous n’avons pas froid non plus en t-shirt. Or, 44K est équivalent à -229,15°C (44-273,15). Ce qui n’est pas possible non plus.
    La température indiquée est donc forcément en Fahrenheit.

    Pour comparer les deux températures, il faut convertir soit la température initiale en °F soit la la seconde en °C.
    Option 2 :
    T(°C) = (T(°F)-32)/1,8 = 7,16°C. Température a baissé de 31,6-7,16 = 24,4 °C. Or, l’intervalle en °C est équivalent à celui en K. Donc La température a baissé de 24,4K.

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