Module d’un nombre complexe : Cours et exercices corrigés

Dans cet article, nous allons définir la notion de module d’un nombre complexe ainsi que présenter quelques exercices corrigés.

Prérequis

• Nombre complexe sous forme algébrique
• Affixe

Définition

Soit z = a+ib, a,b \in \mathbb{R} un nombre complexe. On définit le module de z, noté |z| comme la quantité suivante :

|z| = \sqrt{a^2+b^2}

On peut aussi avoir l’écriture suivante – qui est en fait la même mais ne nécessite pas d’expliciter partie réelle et partie imaginaire :

|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2+\text{Im}(z)^2}

Propriétés

Voici les propriétés à retenir autour du module. Soit z, z' deux complexes.

• |z| \geq 0
• |z| = 0 \iff z = 0
• |zz' | = |z|.|z'|
• Par récurrence, on montre que pour tout n entier, |z|^n = |z^n|
• Si z' \neq 0, \dfrac{|z|}{|z'|} = \left| \dfrac{z}{z'}\right|
• Inégalité triangulaire : |z+z'| \leq |z |+|z'|
• Lien avec la quantité conjuguée : z \bar{z} = |z|^2
• |z| = |\overline{z}|
• Dans le cas particulier d’un nombre réel,

D’un point de vue interprétation géométrique, le module correspond à la distance à 0 du point d’affixe z.

Exemple

Voici quelques calculs de modules :

• |1+2i| = \sqrt{1^2 +2^2} = \sqrt{5}
• |i(4i+3)| = |i|.|(4i+3)|= 1.\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25}=5

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé

Si z = \dfrac{1}{\overline{z}},où z  est un nombre complexe, déterminez |z|.

Corrigé

Pour cet exercice, on utilise le lien entre module et quantité conjuguée. En effet, remarquons que :

z = \dfrac{1}{\overline{z}}  \iff z \overline{z} = 1 \iff |z|^2 = 1 

Or, le module est une quantité positive, on a donc |z| = 1 . Il peut être intéressant de retenir ce résultat !

Exercice 2

Enoncé

1. Soit Z un nombre complexe. Démontrer que 1 + |Z|^2 +2 \text{Re} z \geq 0
2. Soient z et w deux nombres complexes. Démontrer que l’on a : |z-w|^2 \leq (1+|z|^2) (1+|w|^2)

Corrigé

Question 1 : On pose Z = x+iy, x,y \in \R . On a alors, d’après les propriétés, |Z|^2 = x^2 +y^2 . Ainsi, notre expression s’écrit :

1+x^2+y^2 + 2x =(1+x)^2 + y^2 \geq 0 

qui est bien positive en tant que somme de deux carrés.

Question 2 : On utilise la propriété |z|^2 = z \overline {z} pour obtenir :

\begin{array}{ll} 
& (1+|z|^2) (1+|w|^2)- |z-w|^2 \\
=& 1 + |z|^2 + |w|^2 + |z|^2.|w|^2 - (z-w)(\overline{z-w})\\
=& 1 + |z|^2 + |w|^2 + |z|^2.|w|^2 - z\overline{z}+z \overline{w}+w\overline{z}-w \overline{w}\\
=& 1 + |z|^2 + |w|^2 + |z|^2.|w|^2 - |z|^2+2Re(z \overline{w})-|w|^2\\
=& 1  + |z|^2.|\overline{w}|^2 +2Re(z \overline{w})\\
=& 1  + |z\overline{w}|^2 +2Re(z \overline{w})
\end{array}

Et cette quantité est bien positive, en appliquant la question 1 avec Z = z\overline{w} ce qui conclut cet exercice sur le module.

Exercice 3

Vous pourriez vous intéresser à l’identité du parallélogramme