Exercice corrigé : Identité du parallélogramme sur les complexes

Découvrez l’identité du parallélogramme, un exercice corrigé autour de la notion de module d’un nombre complexe.

23 août 2023

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Dans cet article, nous allons démontrer l’identité du parallélogramme sur les complexes. Cela permet de travailler la notion de module.

Table des matières

Enoncé

Soit $z_1$ et $z_2$ des complexes. Démontrer que

|z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2 = 2 (|z_1|^2+|z_2|^2)

Pour faire la démonstration, nous allons utiliser la formule suivante :

z\overline{z} = |z|^2

On a alors :

\begin{array}{ll} &|z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2 \\ = & (z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2}) + (z_1-z_2)(\overline{z_1-z_2})\\ = & (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) + (z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})\\ = & z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2} + z_1\overline{z_1}-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}\\ = & 2z_1\overline{z_1}+2z_2\overline{z_2}\\ = & 2(z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2})\\ = & 2(|z_1|^2+|z_2|^2)\\ \end{array}

Ce qui conclut cette courte démonstration.