Dans cet article, nous allons démontrer l’identité du parallélogramme sur les complexes. Cela permet de travailler la notion de module.
Enoncé
Soit z_1 et z_2 des complexes. Démontrer que
|z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2 = 2 (|z_1|^2+|z_2|^2)
Corrigé
Pour faire la démonstration, nous allons utiliser la formule suivante :
z\overline{z} = |z|^2On a alors :
\begin{array}{ll}
&|z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2 \\
= & (z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2}) + (z_1-z_2)(\overline{z_1-z_2})\\
= & (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) + (z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})\\
= & z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2} + z_1\overline{z_1}-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}\\
= & 2z_1\overline{z_1}+2z_2\overline{z_2}\\
= & 2(z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2})\\
= & 2(|z_1|^2+|z_2|^2)\\
\end{array}Ce qui conclut cette courte démonstration.
