Après avoir étudié la forme algébrique d’un nombre complexe et découvert des notions comme module et argument, il est temps de découvrir une seconde forme pour les nombres complexes : la forme trigonométrique.
Prérequis
Définition
Soit z = x+iy \neq 0 un nombre complexe. On note son module |z | et son argument |\theta|. Nous avons vu dans le cours sur l’argument que \cos(\theta) = \dfrac{x}{|z|} et \sin(\theta) = \dfrac{y}{|z|}.
On a alors : x = |z| \cos(\theta) et y = |z| \sin(\theta) . Ainsi, la forme trigométrique est la suivante :
z = |z|(\cos(\theta) + i \sin(\theta))
Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique
Comme nous l’avons dit ci-dessus, si on connaît la forme algébrique de z = x+iy et donc la partie réelle et imaginaire, on connaît alors le module : |z| = \sqrt{x^2+y^2}. On calcule ensuite \cos(\theta) via \cos(\theta)= \dfrac{x}{|z|} et \sin(\theta) via \sin(\theta)= \dfrac{y}{|z|}
De l’autre côté, si on connaît la forme trigonométrique, il est très facile de retrouver la forme algébrique avec les relations :
\left\{
\begin{array}{rcl}
x &=& |z| \cos(\theta)\\
y &=& |z|\sin(\theta)
\end{array}
\right.Égalité de 2 complexes
2 complexes z = |z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta)) et z' = |z'|(\cos(\theta')+i\sin(\theta')) sont égaux si et seulement si
\left\{
\begin{array}{rcl}
|z|&=& |z'|\\
\theta &\equiv&\theta' [2\pi]
\end{array}
\right. \iff \left\{
\begin{array}{rcl}
|z|&=& |z'|\\
\theta &=&\theta' +2 k \pi
\end{array}
\right.Exercice corrigé
Enoncé
Ecrire z = 2-2i sous forme trigonométrique.
Corrigé
Tout d’abord, on calcule le module de z : |z| =\sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}.
On peut alors calculer le cosinus et le sinus :
\left\{
\begin{array}{rcl}
\cos(\theta) &=& \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin(\theta) &=& \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\end{array}
\right.On a alors la forme trigonométrique :
z = 2\sqrt{2}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}-i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
